5/52 - Determine o centro de massa da barra curvada homogênea. Considere que a coordenada x do centroide do semicírculo é \bar{x}=2 r / \pi.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o centro de massa (centroide) da barra curvada homogênea mostrada na figura. Informações e dados relevantes (peguei estes dados da imagem e do enunciado):
  • A barra é composta de duas partes: um trecho retilíneo horizontal e um semicírculo conectado à direita.
  • Comprimento do trecho retilíneo: 300\\ \text{mm} (pego da imagem).
  • Raio do semicírculo: r=150\\ \text{mm} (pego da imagem).
  • A coordenada x do centroide do semicírculo é dada no enunciado: \bar{x}=\dfrac{2r}{\pi}.
    As perguntas que preciso responder: calcular \bar{x} e \bar{y} do conjunto (centro de massa da barra inteira).

Passo 2

Vamos dividir o corpo em duas partes simples e identificar para cada uma o comprimento e o centroide:
  • Parte 1: trecho retilíneo horizontal de comprimento L_1=300\\ \text{mm}, que vai da posição x=-300\\ \text{mm} até x=0 (origem mostrada na figura). Sendo homogêneo, o centroide dessa barra retilínea fica no ponto médio:
\bar{x}_1 = -150\\ \text{mm}.
  • Parte 2: semicírculo de raio r=150\\ \text{mm}. O comprimento (comprimento do arco) do semicírculo é
L_2 = r\theta = r\pi = 150\pi\\ \text{mm},
pois o ângulo correspondente a um semicírculo é \theta=\pi rad.

Passo 3

Centroide do semicírculo (parte 2): o enunciado já deu a fórmula para a coordenada x do centroide do semicírculo em relação ao centro da circunferência:
\bar{x}_2=\frac{2r}{\pi}.
Substituindo r=150\\ \text{mm},
\bar{x}_2=\frac{2\cdot150}{\pi}=\frac{300}{\pi}\\ \text{mm}.

Passo 4

Explicar a ideia do cálculo do centro de massa do conjunto (aula rápida e prática):
  • Para uma barra fina homogênea (densidade linear constante \lambda), o centro de massa do conjunto de peças é a média ponderada das posições dos centros de massa de cada peça, ponderada pelos comprimentos (pois a massa é \lambda vezes o comprimento).
  • Fórmula útil:
\bar{x}=\frac{L_1\bar{x}_1+L_2\bar{x}_2}{L_1+L_2}.
Aqui L_1 e L_2 são os comprimentos das partes e \bar{x}_1,\bar{x}_2 seus respectivos centróides.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os valores que temos:
L_1=300,\qquad \bar{x}_1=-150,
L_2=150\pi,\qquad \bar{x}_2=\frac{300}{\pi}.
Calcule o numerador:
L_1\bar{x}_1+L_2\bar{x}_2 = 300\cdot(-150)+150\pi\cdot\frac{300}{\pi}.
Simplificando:
300\cdot(-150) = -45000,
150\pi\cdot\frac{300}{\pi} = 150\cdot300 = 45000.
Portanto o numerador é
-45000+45000=0.
O denominador é L_1+L_2=300+150\pi, portanto
\bar{x}=\frac{0}{300+150\pi}=0\\ \text{mm}.

Passo 6

Cálculo de \bar{y} (explicação didática):
  • O trecho retilíneo está sobre o eixo x (ou seja, tem \bar{y}_1=0).
  • O semicírculo está disposto simetricamente em relação ao eixo x (metade superior e inferior simétricas), logo o centroide do semicírculo tem \bar{y}_2=0.
  • Como ambos têm \bar{y}=0, a média ponderada também dá
\bar{y}=0.

Passo 7

Interpretação final curta e motivadora: os dois contributions em x se cancelam exatamente — o semicírculo “puxa” para a direita a mesma quantidade que o segmento retilíneo “puxa” para a esquerda — por isso o centro de massa fica exatamente na origem. Boa descoberta!

Resposta

(\bar{x},\bar{y})=(0,0)\\ \text{mm}

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