5/52 - Determine o centro de massa da barra curvada homogênea. Considere que a coordenada
do centroide do semicírculo é
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o centro de massa (centroide) da barra curvada homogênea mostrada na figura. Informações e dados relevantes (peguei estes dados da imagem e do enunciado):
- A barra é composta de duas partes: um trecho retilíneo horizontal e um semicírculo conectado à direita.
- Comprimento do trecho retilíneo:
(pego da imagem). - Raio do semicírculo:
(pego da imagem). - A coordenada
do centroide do semicírculo é dada no enunciado: .
As perguntas que preciso responder: calculare do conjunto (centro de massa da barra inteira).
Passo 2
Vamos dividir o corpo em duas partes simples e identificar para cada uma o comprimento e o centroide:
- Parte 1: trecho retilíneo horizontal de comprimento
, que vai da posição até (origem mostrada na figura). Sendo homogêneo, o centroide dessa barra retilínea fica no ponto médio:
- Parte 2: semicírculo de raio
. O comprimento (comprimento do arco) do semicírculo é
pois o ângulo correspondente a um semicírculo é
rad.
Passo 3
Centroide do semicírculo (parte 2): o enunciado já deu a fórmula para a coordenada
do centroide do semicírculo em relação ao centro da circunferência:
Substituindo
,
Passo 4
Explicar a ideia do cálculo do centro de massa do conjunto (aula rápida e prática):
- Para uma barra fina homogênea (densidade linear constante
), o centro de massa do conjunto de peças é a média ponderada das posições dos centros de massa de cada peça, ponderada pelos comprimentos (pois a massa é vezes o comprimento). - Fórmula útil:
Aqui
e
são os comprimentos das partes e
seus respectivos centróides.
Passo 5
Aplicando a fórmula com os valores que temos:
Calcule o numerador:
Simplificando:
Portanto o numerador é
O denominador é
, portanto
Passo 6
Cálculo de
(explicação didática):
- O trecho retilíneo está sobre o eixo
(ou seja, tem ). - O semicírculo está disposto simetricamente em relação ao eixo
(metade superior e inferior simétricas), logo o centroide do semicírculo tem . - Como ambos têm
, a média ponderada também dá
Passo 7
Interpretação final curta e motivadora: os dois contributions em
se cancelam exatamente — o semicírculo “puxa” para a direita a mesma quantidade que o segmento retilíneo “puxa” para a esquerda — por isso o centro de massa fica exatamente na origem. Boa descoberta!