5.14 Um avião voa em um plano horizontal com velocidade constante. Existem quatro forças atuando sobre ele: seu peso w=m g, uma força F orientada para a frente fornecida pelo motor (força de propulsão), a resistência do ar, ou força de arraste f, que atua em sentido contrário ao do movimento, e uma força de sustentação L oriunda das asas e que atua ortogonalmente à direção do vôo. A força de arraste f é proporcional ao quadrado da velocidade. a) Mostre que F=f e que L=w. b) Suponha que o piloto empurre a alavanca para a frente fazendo dobrar a propulsão F, enquanto mantém a altitude constante. O avião finalmente atinge uma outra velocidade constante de módulo mais elevado. Para essa nova velocidade constante, como o novo valor de f se relaciona com o antigo valor? c) Qual é a razão entre o novo valor da velocidade e o valor anterior?

Passo 1

A gente tem um avião voando em plano horizontal a velocidade constante, sujeito a quatro forças: o peso w=mg para baixo, a sustentação L para cima, o arraste f contra o movimento e a propulsão F para frente. O conteúdo aqui é a segunda lei de Newton em regime estacionário (forças resultantes nulas) e a relação de arraste proporcional a v^2.

Passo 2

Como a velocidade é constante, a soma das forças em cada direção deve ser zero. Na direção horizontal temos:

Passo 3

F - f = 0

Passo 4

Logo

Passo 5

F = f

Passo 6

Na direção vertical temos:

Passo 7

L - w = 0

Passo 8

Logo

Passo 9

L = w

Passo 10

O piloto dobra a propulsão de F para 2F e, em novo regime estacionário, a condição horizontal vira:

Passo 11

2F - f' = 0

Passo 12

Logo

Passo 13

f' = 2F = 2f

Passo 14

Como o arraste é proporcional a v^2, ou seja, fpropto v^2, podemos escrever:

Passo 15

f'f = l(v'vr)^2

Passo 16

Como f'/f=2, temos

Passo 17

l(v'vr)^2 = 2

Passo 18

Logo

Passo 19

v'v = raiz2

Resposta

a) F = f e L = w. b) f' = 2f. c) v'/v = raiz2.

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