14 Uma carga específica tem um fator de potência de 0,8 atrasado. A potência entregue à carga é de 40 kW em uma linha de 270 V rms a 60 Hz . Qual valor de capacitância, colocada em paralelo com a carga, elevará o fator de potência para 0,9 atrasado?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: fator de potência inicial \text{pf}_1 = 0,8 atrasado.
  • Dado: potência ativa entregue à carga P = 40\\ \text{kW}.
  • Dado: tensão da linha V_{\text{rms}} = 270\\ \text{V}.
  • Dado: frequência f = 60\\ \text{Hz}.
  • Pedido: encontrar a capacitância C, ligada em paralelo com a carga, que eleva o fator de potência para \text{pf}_2 = 0,9 atrasado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A carga é indutiva (fator de potência atrasado), logo possui reatância indutiva líquida positiva Q_1>0.
  • A correção por capacitor reduz a componente reativa líquida da carga; o capacitor fornece potência reativa capacitiva (valor negativo no triângulo de potências), cuja magnitude vamos calcular e transformar em capacitância.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Potência ativa P é a potência real consumida (em W).
  • Potência aparente S (em VA) relaciona-se com P e potência reativa Q por um triângulo retângulo: S^2 = P^2 + Q^2. Aqui Q é a potência reativa (em VAR).
  • O fator de potência é \text{pf} = \dfrac{P}{S}. Desta forma S = \dfrac{P}{\text{pf}}.
  • Para uma carga indutiva (atrasada), Q>0. Para um capacitor que compensa reatância indutiva, a potência reativa fornecida pelo capacitor tem magnitude Q_C = V_{\text{rms}}^2 \,\omega C, onde \omega = 2\pi f é a pulsação em rad/s.
  • Ao adicionar o capacitor em paralelo, a potência ativa P não muda; a nova potência aparente será S_2 = \dfrac{P}{\text{pf}_2} e a nova reativa líquida Q_2 = \sqrt{S_2^2 - P^2}.
  • A quantidade de reativo que o capacitor deve fornecer (magnitude) é Q_C = Q_1 - Q_2 (porque o capacitor reduz a reativa indutiva).
Explicação rápida do porquê: o triângulo de potências inicial tem catetos P e Q_1. Após correção, o cateto reativo passa a ser Q_2. A diferença Q_1-Q_2 é a reativa que o capacitor precisa suprir.

Passo 3

Calcular a potência aparente e reativa iniciais da carga (usando P=40\,\text{kW}=40000\,\text{W} e \text{pf}_1=0,8):
S_1=\dfrac{P}{\text{pf}_1}=\dfrac{40000}{0,8}=50000\\ \text{VA}.
Agora a reativa inicial Q_1 vem do triângulo:
Q_1=\sqrt{S_1^2-P^2}=\sqrt{50000^2-40000^2}=\sqrt{2{,}5\times10^{9}-1{,}6\times10^{9}}=\sqrt{9\times10^{8}}=30000\\ \text{VAR}.
Comentário didático: isto faz sentido porque com P=40\\ \text{kW} e \text{pf}=0,8, a potência aparente é 50\\ \text{kVA}; o cateto reativo resulta em 30\\ \text{kVAR}.

Passo 4

Calcular a potência aparente e reativa desejadas após correção para \text{pf}_2=0,9:
S_2=\dfrac{P}{\text{pf}_2}=\dfrac{40000}{0,9}\approx44444{,}444\\ \text{VA}.
Usando o triângulo para Q_2:
Q_2=\sqrt{S_2^2-P^2}.
Podemos simplificar essa expressão analiticamente:
Q_2 = P\sqrt{\dfrac{1}{\text{pf}_2^{2}}-1} =40000\sqrt{\dfrac{1}{0,9^{2}}-1} =40000\sqrt{\dfrac{1-0,9^{2}}{0,9^{2}}} =40000\dfrac{\sqrt{19}}{9}.
Calculando numericamente:
Q_2 \approx 19372{,}884\\ \text{VAR}.

Passo 5

Determinar a potência reativa que o capacitor deve fornecer (magnitude):
Q_C = Q_1 - Q_2 = 30000 - 19372{,}884 \approx 10627{,}116\\ \text{VAR}.
Explicação: o capacitor deve fornecer essa quantidade de VAR (capacitiva) para reduzir a reativa indutiva líquida de 30000\\ \text{VAR} para 19372{,}884\\ \text{VAR}, obtendo o novo fator de potência.

Passo 6

Relacionar potência reativa do capacitor com a capacitância:
  • Fórmula da potência reativa (magnitude) de um capacitor em regime senoidal:
Q_C = V_{\text{rms}}^2\,\omega C,
onde
  • Q_C é a potência reativa fornecida pelo capacitor (em VAR, aqui tomamos a magnitude positiva),
  • V_{\text{rms}} é a tensão eficaz (em V),
  • \omega = 2\pi f é a pulsação (em rad/s),
  • C é a capacitância (em F).
Isolando C:
C=\dfrac{Q_C}{V_{\text{rms}}^2\,\omega}=\dfrac{Q_C}{V_{\text{rms}}^2\,2\pi f}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular C.
Primeiro calculemos os termos intermediários:
V_{\text{rms}}^2 = 270^2 = 72900\\ \text{V}^2,
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot60 \approx 376{,}991118\\ \text{rad/s}.
Produto:
V_{\text{rms}}^2\,\omega \approx 72900\cdot376{,}991118 \approx 27482652{,}53.
Agora C:
C=\dfrac{10627{,}116}{27482652{,}53}\\ \text{F}\approx 0{,}000386827\\ \text{F}.
Converter para microfarads ( 1\,\mu\text{F}=10^{-6}\\ \text{F}):
C\approx 386{,}827\\ \mu\text{F}\approx 387\\ \mu\text{F}\\ (\text{arredondando}).

Passo 8

Interpretação final e dica prática:
  • Deve-se usar um capacitor de aproximadamente 387\,\mu\text{F} em paralelo com a carga para elevar o fator de potência de 0,8 para 0,9 a 270\\ \text{V} e 60\\ \text{Hz}.
  • Dica para prova: memorizando a sequência de passos (calcular S a partir de P/\text{pf}, obter Q por \sqrt{S^2-P^2}, diferença Q_1-Q_2 dá o reativo do capacitor e usar Q_C=V^2\omega C) resolve a maioria dos exercícios de correção de potência.

Resposta

C\approx 387\,\mu\text{F}

Exercícios relacionados