Uma canga desequilibrada conectada em Estrela sem Neutro e com impedâncias de fase iguais a \mathrm{Za}=30 / 90, \mathrm{Zb}=10 / 0, \mathrm{Zc}=30 /-90 é alimentada por uma fonte trifasica equilibrada de sequência positiva com Vab =100 / 60. Utilizando a fase b como referência e utilizando o método dos dois wattímetros:
a) calcule a leitura dos wattimetros; (1pt)
b) calcule a potência trifásica ( 0,5 \mathrm{pt} )
c) caso o Neutro seja conectado, qual o valor da potência trifásica? (1pt)

Passo 1

O enunciado dá:
  • Impedâncias de fase (estrela, sem neutro): \mathrm{Z_a}=30\angle 90^\circ,\;\mathrm{Z_b}=10\angle 0^\circ,\;\mathrm{Z_c}=30\angle -90^\circ.
  • Fonte trifásica equilibrada de sequência positiva com tensão de linha \mathrm{V_{ab}}=100\angle 60^\circ.
  • Pede:
    (a) leituras dos dois wattímetros (usar a fase b como referência e o método dos dois wattímetros);
    (b) potência trifásica total (soma dos dois wattímetros);
    (c) potência trifásica se o neutro for conectado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tensão de linha V_{ab}=100\angle 60^\circ (e, por sequência positiva, V_{bc}=100\angle -60^\circ,\;V_{ca}=100\angle 180^\circ).
  • Ligações em estrela sem neutro (neutro do carregamento ≠ neutro da fonte — ponto N do carregamento pode deslocar-se).

Passo 2

Vou calcular as tensões de fase (fase-a, fase-b, fase-c) em relação ao neutro da fonte (usarei fórmulas padrão para obter tensões de fase a partir das tensões de linha). Fórmulas:
V_a=\frac{V_{ab}-V_{ca}}{3},\qquad V_b=\frac{V_{bc}-V_{ab}}{3},\qquad V_c=\frac{V_{ca}-V_{bc}}{3}.
Substituindo V_{ab}=100\angle 60^\circ,\;V_{bc}=100\angle -60^\circ,\;V_{ca}=100\angle 180^\circ:
Calcule V_a:
V_a=\frac{100\angle 60^\circ - 100\angle 180^\circ}{3}.
Converta para retangular para somar facilmente:
100\angle 60^\circ=50+j86{,}6025,\qquad 100\angle 180^\circ=-100+j0.
V_a=\frac{(50+j86{,}6025)-(-100+j0)}{3}=\frac{150+j86{,}6025}{3}=50+j28{,}8675.
Em forma polar:
V_a=57{,}735\angle 30^\circ.
Calcule V_b:
V_b=\frac{100\angle -60^\circ - 100\angle 60^\circ}{3}.
Retangular:
100\angle -60^\circ=50-j86{,}6025,\quad 100\angle 60^\circ=50+j86{,}6025,
V_b=\frac{(50-j86{,}6025)-(50+j86{,}6025)}{3}=\frac{-j173{,}205}{3}= -j57{,}735.
Em polar:
V_b=57{,}735\angle -90^\circ.
Calcule V_c:
V_c=\frac{100\angle 180^\circ - 100\angle -60^\circ}{3}.
Retangular:
100\angle 180^\circ=-100+j0,\quad 100\angle -60^\circ=50-j86{,}6025,
V_c=\frac{(-100+j0)-(50-j86{,}6025)}{3}=\frac{-150+j86{,}6025}{3}=-50+j28{,}8675,
V_c=57{,}735\angle 150^\circ.
Resumo:
V_a=57{,}735\angle 30^\circ,\qquad V_b=57{,}735\angle -90^\circ,\qquad V_c=57{,}735\angle 150^\circ.

Passo 3

Como o carregamento está em estrela sem neutro, o potencial do neutro do carregamento V_n (referido ao neutro da fonte) é desconhecido e deve ser encontrado impondo I_a+I_b+I_c=0. Usamos a forma com admitâncias:
Y_a=\frac{1}{Z_a},\;Y_b=\frac{1}{Z_b},\;Y_c=\frac{1}{Z_c},
e a condição
\frac{V_a-V_n}{Z_a}+\frac{V_b-V_n}{Z_b}+\frac{V_c-V_n}{Z_c}=0.
Isolando V_n:
V_n=\frac{V_a/Y_a^{-1}+V_b/Y_b^{-1}+V_c/Y_c^{-1}}{Y_a+Y_b+Y_c} =\frac{V_aY_a+V_bY_b+V_cY_c}{Y_a+Y_b+Y_c}.
Calcule as admitâncias (fórmula e significado: Y=1/Z; unidades S):
Y_a=\frac{1}{30\angle 90^\circ}=0{,}033333\angle -90^\circ= -j0{,}033333,
Y_b=\frac{1}{10\angle 0^\circ}=0{,}1\angle 0^\circ=0{,}1,
Y_c=\frac{1}{30\angle -90^\circ}=0{,}033333\angle 90^\circ= j0{,}033333.
Calcule V_aY_a,\;V_bY_b,\;V_cY_c (uso de forma polar facilita):
  • V_aY_a=57{,}735\angle 30^\circ \times 0{,}033333\angle -90^\circ =1{,}9245\angle -60^\circ=0{,}9623 - j1{,}6667.
  • V_bY_b=57{,}735\angle -90^\circ \times 0{,}1\angle 0^\circ =5{,}7735\angle -90^\circ= -j5{,}7735.
  • V_cY_c=57{,}735\angle 150^\circ \times 0{,}033333\angle 90^\circ =1{,}9245\angle 240^\circ= -0{,}9623 - j1{,}6667.
Somando:
V_aY_a+V_bY_b+V_cY_c=(0{,}9623- j1{,}6667)+(-j5{,}7735)+(-0{,}9623 - j1{,}6667)=-j9{,}1069.
E
Y_a+Y_b+Y_c=(-j0{,}033333)+0{,}1+(j0{,}033333)=0{,}1.
Logo
V_n=\frac{-j9{,}1069}{0{,}1}=-j91{,}069\approx 91{,}07\angle -90^\circ.
Interpretação: o neutro do carregamento deslocou-se para -j91{,}07\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Agora as tensões de fase sobre cada impedância (tensão fase‑a sobre Z_a etc) são
V_{a,\,\text{load}}=V_a-V_n,\quad V_{b,\,\text{load}}=V_b-V_n,\quad V_{c,\,\text{load}}=V_c-V_n.
Calcule em retangular (usando os valores de antes):
  • V_a=50 + j28{,}8675, V_n=0 - j91{,}069
V_{a,\,\text{load}}=(50+j28{,}8675)-(-j91{,}069)=50+j119{,}937.
Polar:
V_{a,\,\text{load}}=129{,}94\angle 67{,}38^\circ.
  • V_b=-j57{,}735
V_{b,\,\text{load}}=(-j57{,}735)-(-j91{,}069)=j33{,}334,
V_{b,\,\text{load}}=33{,}334\angle 90^\circ.
  • V_c=-50 + j28{,}8675
V_{c,\,\text{load}}=(-50+j28{,}8675)-(-j91{,}069)=-50+j119{,}937,
V_{c,\,\text{load}}=129{,}94\angle 112{,}62^\circ.

Passo 5

Correntes de fase (do sistema para o carregamento) são \;I_x=V_{x,\,\text{load}}/Z_x.
Calcule cada uma:
  • I_a=\dfrac{V_{a,\,\text{load}}}{Z_a}= \dfrac{129{,}94\angle 67{,}38^\circ}{30\angle 90^\circ}=4{,}3317\angle(67{,}38-90)^\circ=4{,}3317\angle -22{,}62^\circ.
    Em retangular: I_a\approx 3{,}9979 - j1{,}6667 A.
  • I_b=\dfrac{V_{b,\,\text{load}}}{Z_b}= \dfrac{33{,}334\angle 90^\circ}{10\angle 0^\circ}=3{,}3334\angle 90^\circ.
    Em retangular: I_b\approx j3{,}3334 A.
  • I_c=\dfrac{V_{c,\,\text{load}}}{Z_c}= \dfrac{129{,}94\angle 112{,}62^\circ}{30\angle -90^\circ}=4{,}3317\angle(112{,}62+90)^\circ=4{,}3317\angle 202{,}62^\circ.
    Em retangular: I_c\approx -3{,}9979 - j1{,}6667 A.
Verificação: I_a+I_b+I_c\approx 0 (fecho de correntes no ponto neutro flutuante) — confirmado numericamente.

Passo 6

Método dos dois wattímetros (com fase b como referência): os dois wattímetros medem as potências instantâneas correspondentes às combinações (potencial entre a e b com corrente de a) e (potencial entre c e b com corrente de c). As leituras são:
W_1=\Re\{V_{ab}\,I_a^*\},\qquad W_2=\Re\{V_{cb}\,I_c^*\},
onde V_{ab}=V_a-V_b e V_{cb}=V_c-V_b (essas são justamente as tensões de linha; V_{ab} foi dada e V_{cb} é obtida por sequência).
Já sabemos V_{ab}=100\angle 60^\circ. Também
V_{cb}=V_c-V_b=100\angle 120^\circ
(pela sequência positiva).
Usando os valores numéricos e as conjugações:
  • I_a^*=4{,}3317\angle +22{,}62^\circ.
  • I_c^*=4{,}3317\angle -202{,}62^\circ =4{,}3317\angle 157{,}38^\circ.
Calcule W_1:
V_{ab}I_a^*=100\angle 60^\circ \times 4{,}3317\angle 22{,}62^\circ =433{,}17\angle 82{,}62^\circ.
A parte real:
W_1=\Re\{433{,}17\angle 82{,}62^\circ\}=433{,}17\cos(82{,}62^\circ)=55{,}56\\ \text{W}\\ (\text{aprox.}).
Calcule W_2:
V_{cb}I_c^*=100\angle 120^\circ \times 4{,}3317\angle 157{,}38^\circ =433{,}17\angle 277{,}38^\circ.
W_2=\Re\{433{,}17\angle 277{,}38^\circ\}=433{,}17\cos(277{,}38^\circ)=55{,}56\\ \text{W}\\ (\text{aprox.}).
Observação: os sinais e ângulos dependem das convenções de ligação dos wattímetros; com a convenção aqui (potencial dos wattímetros entre fases a–b e c–b, correntes nas fases a e c), obteve‑se W_1\approx W_2\approx 55{,}56\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Potência trifásica total (soma dos dois wattímetros):
P_{\text{3f}}=W_1+W_2\approx 55{,}56 + 55{,}56 = 111{,}11\\ \text{W}.
Checagem física (potências em cada fase): somente a fase b tem resistência ( Z_b=10\\ \Omega) — fases a e c são reativas puras — logo a potência ativa total deve ser a potência dissipada em Z_b:
P_b=|I_b|^2 R_b=(3{,}3334)^2\cdot 10\approx 111{,}11\\ \text{W},
concordando com W_1+W_2.

Passo 8

Caso o neutro do carregamento seja conectado (neutro ligado ao neutro da fonte), o neutro do carregamento fica em 0 V e as tensões de fase sobre as impedâncias são simplesmente V_a,V_b,V_c calculadas no Passo 2. Então as correntes passam a ser:
I_a^{(N)}=\frac{V_a}{Z_a}=\frac{57{,}735\angle 30^\circ}{30\angle 90^\circ}=1{,}9245\angle -60^\circ,
I_b^{(N)}=\frac{V_b}{Z_b}=\frac{57{,}735\angle -90^\circ}{10}=5{,}7735\angle -90^\circ,
I_c^{(N)}=\frac{V_c}{Z_c}=\frac{57{,}735\angle 150^\circ}{30\angle -90^\circ}=1{,}9245\angle 240^\circ.
Potência ativa total agora é apenas a soma das potências ativas nas resistências; como Z_a e Z_c são puramente reativas, somente Z_b dissipa potência:
P_{\text{3f, com neutro}}=|I_b^{(N)}|^2 R_b=(5{,}7735)^2\cdot 10\approx 333{,}33\\ \text{W}.

Resposta

W_1 \approx 55{,}56\\ \text{W}
W_2 \approx 55{,}56\\ \text{W}
P_{\text{3f}} = W_1+W_2 \approx 111{,}11\\ \text{W}
P_{\text{3f (com neutro conectado)}} \approx 333{,}33\\ \text{W}

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