14 Considere um planeta orbitando em torno do Sol considerado fixo. Tome o plano da órbita do planeta como sendo o plano x y, com o Sol na origem e considere a posição do planeta em coordenadas polares (r, phi). (a) Mostre que o momento angular do planeta tem magnitude ell=m r^2 omega, onde omega=dotphi é a velocidade angular do planeta em torno do Sol. (b) Mostre que a taxa com a qual o planeta “varre a área” (como na segunda lei de Kepler) é d A / d t=12 r^2 omega e, por conseguinte, d A / d t=ell / 2 m. Deduza a segunda lei de Kepler.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou. Temos um planeta orbitando o Sol, que está na origem do plano xy. A posição do planeta é dada em coordenadas polares (r, phi). A pergunta está dividida em duas partes:
a) Precisamos mostrar que o momento angular do planeta é ell = m r^2 omega, onde omega = dotphi é a velocidade angular.
b) Precisamos mostrar que a taxa com que o planeta varre a área é dA/dt = 12 r^2 omega e, a partir daí, deduzir a segunda lei de Kepler.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre movimento circular e momento angular.

Passo 2

Vamos começar pela parte a), que envolve o momento angular. O momento angular ( ell) de uma partícula em movimento circular é dado por:
ell = m cdot r cdot v
onde:
  • m é a massa do planeta,
  • r é a distância do planeta ao Sol,
  • v é a velocidade tangencial.
Mas, como estamos trabalhando com coordenadas polares, podemos expressar a velocidade tangencial em termos da velocidade angular ( omega). A relação entre a velocidade tangencial ( v) e a velocidade angular ( omega) é:
v = r cdot omega
Substituindo v na fórmula do momento angular:
ell = m cdot r cdot (r cdot omega) = m cdot r^2 cdot omega
Então, mostramos que:
ell = m r^2 omega

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), que trata da taxa de varredura da área. Essa taxa é conhecida como velocidade areolar ( dA/dt). Para uma partícula em movimento circular, a área varrida em um pequeno intervalo de tempo De<a t é aproximadamente a área de um triângulo com base r e altura v De<a t.
A área de um triângulo é dada por:
De<a A = 12 cdot r cdot (v De<a t)
Dividindo ambos os lados por De<a t para encontrar a taxa:
dAdt = De<a ADe<a t = 12 r cdot v
Substituindo v por r omega:
dAdt = 12 r cdot (r omega) = 12 r^2 omega
Agora, lembrando da expressão que encontramos para o momento angular:
ell = m r^2 omega
Podemos reescrever dAdt em termos de ell:
dAdt = ell2m

Passo 4

Finalmente, vamos deduzir a segunda lei de Kepler. A segunda lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Áreas, afirma que o raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
Observando nossa expressão para dAdt:
dAdt = ell2m
Se o momento angular ell é constante (o que é verdade se não houver torque externo agindo, de acordo com a conservação do momento angular), então dAdt também é constante. Isso significa que áreas iguais são varridas em intervalos de tempo iguais, confirmando a segunda lei de Kepler.

Resposta

Assim, mostramos que o momento angular do planeta é ell = m r^2 omega e que a taxa de varredura da área é dAdt = ell2m. Isso leva à dedução da segunda lei de Kepler, que afirma que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.

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