14 Considere um planeta orbitando em torno do Sol considerado fixo. Tome o plano da órbita do planeta como sendo o plano
, com o Sol na origem e considere a posição do planeta em coordenadas polares
. (a) Mostre que o momento angular do planeta tem magnitude
, onde
é a velocidade angular do planeta em torno do Sol. (b) Mostre que a taxa com a qual o planeta “varre a área” (como na segunda lei de Kepler) é
, por conseguinte,
. Deduza a segunda lei de Kepler.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou. Temos um planeta orbitando o Sol, que está na origem do plano xy. A posição do planeta é dada em coordenadas polares
. A pergunta está dividida em duas partes:
a) Precisamos mostrar que o momento angular do planeta é
, onde
é a velocidade angular.
b) Precisamos mostrar que a taxa com que o planeta varre a área é
e, a partir daí, deduzir a segunda lei de Kepler.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre movimento circular e momento angular.
Passo 2
Vamos começar pela parte a), que envolve o momento angular. O momento angular (
) de uma partícula em movimento circular é dado por:
onde:
-
é a massa do planeta, -
é a distância do planeta ao Sol, -
é a velocidade tangencial.
Mas, como estamos trabalhando com coordenadas polares, podemos expressar a velocidade tangencial em termos da velocidade angular (
). A relação entre a velocidade tangencial (
) e a velocidade angular (
) é:
Substituindo
na fórmula do momento angular:
Então, mostramos que:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), que trata da taxa de varredura da área. Essa taxa é conhecida como velocidade areolar (
). Para uma partícula em movimento circular, a área varrida em um pequeno intervalo de tempo
é aproximadamente a área de um triângulo com base
e altura
.
A área de um triângulo é dada por:
Dividindo ambos os lados por
para encontrar a taxa:
Substituindo
por
:
Agora, lembrando da expressão que encontramos para o momento angular:
Podemos reescrever
em termos de
:
Passo 4
Finalmente, vamos deduzir a segunda lei de Kepler. A segunda lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Áreas, afirma que o raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
Observando nossa expressão para
:
Se o momento angular
é constante (o que é verdade se não houver torque externo agindo, de acordo com a conservação do momento angular), então
também é constante. Isso significa que áreas iguais são varridas em intervalos de tempo iguais, confirmando a segunda lei de Kepler.
Resposta
Assim, mostramos que o momento angular do planeta é
e que a taxa de varredura da área é
. Isso leva à dedução da segunda lei de Kepler, que afirma que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.