Questão 15

Três partículas carregadas positivamente, cada uma com carga q, ocupam os vértices de um triângulo retângulo cujos catetos são iguais e medem d. sabendo-se que as cargas estão num meio cuja constante dielétrica é K, determine a expressão da força elétrica resultante sobre a carga do ângulo reto.

Passo 1

O enunciado coloca três cargas puntiformes positivas, cada uma de carga q, nos vértices de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem d. Pede-se a força elétrica resultante sobre a carga que está no ângulo reto.
Conteúdo: Lei de Coulomb e princípio da superposição de forças.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos de modo que a carga de interesse fique na origem O=(0,0), e as outras duas cargas estejam em A=(d,0) e B=(0,d).
Pela Lei de Coulomb, a força devido à carga em A tem magnitude
Frm <=g = 14piepsilon0 K,q^2d^2
e é dirigida para a esquerda, isto é, ao longo de i. De modo análogo, a força devido à carga em B tem mesma magnitude e atua ao longo de j.

Passo 3

A terceira carga está em C=(d,d), a uma distância
r = raizd^2 + d^2 = draiz2
da carga na origem. Sua força tem magnitude
Frm diag = 14piepsilon0 Kq^2(draiz2)^2 = q^28piepsilon0 K,d^2
e direção ao longo do vetor OC, cujo versor é i+jraiz2.

Passo 4

Aplicando superposição, o vetor força resultante é
F = Frm <=g,i + Frm <=g,j + Frm diag,i+jraiz2
Substituindo
Frm <=g=q^24piepsilon0 K,d^2, Frm diag=q^28piepsilon0 K,d^2,
vem
F = q^24piepsilon0 K,d^2l(i+jr) + q^28piepsilon0 K,d^2,i+jraiz2 = q^24piepsilon0 K,d^2l(1+12raiz2r)l(i+jr)

Passo 5

A magnitude dessa força é
F = llvertFrrvert = q^24piepsilon0 K,d^2l(1+12raiz2r)raiz2 = q^28piepsilon0 K,d^2l(2raiz2+1r),
e a direção é ao longo da bissetriz do ângulo reto, ou seja, na direção de i+j.

Resposta

F = q^24piepsilon0 K,d^2l(1+12raiz2r)l(i+jr),
com magnitude
F = q^28piepsilon0 K,d^2l(2raiz2+1r)
e direção na bissetriz do ângulo reto.

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