1.14 Considere um sinal periódico
x(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t \leq 1 \\\\ -2, & 1<t<2\end{cases}
com período T=2. A derivada desse sinal está relacionada ao “trem de impulsos”
g(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-2 k)
com período T=2. Pode-se perceber que
\frac{d x(t)}{d t}=A_{1} g\left(t-t_{1}\right)+A_{2} g\left(t-t_{2}\right) .
Determine os valores de A_{1}, t_{1}, A_{2} e t_{2}.

Passo 1

O enunciado dá o sinal periódico x(t)\) de período \(T=2\), definido por \[x(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1,\\\\ -2, & 1 < t < 2, \end{cases}
e afirma que a sua derivada consiste num trem de impulsos em cada descontinuidade. Vamos usar a propriedade de que, em cada salto de magnitude \Delta x\] numa descontinuidade em \(t=t_0, a derivada gera um impulso \Delta x\,\delta(t-t_0).

Passo 2

Identificamos o salto em t=0. Como o sinal é periódico de período 2, vale
x(0^-) = \lim_{t\to0^-}x(t) = x(2^-) = -2, \quad x(0^+) = 1.
Logo o salto é
\Delta x\big|_{t=0} = x(0^+) - x(0^-) = 1 - (-2) = 3,
o que gera impulsos de amplitude 3 em t=0+2k, ou seja 3\,g(t).

Passo 3

Identificamos o salto em t=1:
x(1^-) = 1, \quad x(1^+) = -2,
portanto
\Delta x\big|_{t=1} = -2 - 1 = -3.
Isso gera impulsos de amplitude -3 em t=1+2k, ou seja -3\,g(t-1).

Passo 4

Somando as duas contribuições,
\frac{dx(t)}{dt} = 3\,g(t) \;+\; \bigl(-3\bigr)\,g(t-1).
Comparando com \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}=A_{1}g(t-t_{1})+A_{2}g(t-t_{2}), obtemos
A_{1}=3,\; t_{1}=0, \quad A_{2}=-3,\; t_{2}=1.

Resposta

A_{1}=3,\; t_{1}=0,\; A_{2}=-3,\; t_{2}=1

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