1.11 Determine o período fundamental do sinal x[n]=1+e^{j 4 \pi n / 7}-e^{j 2 \pi n / 5}.

Passo 1

O enunciado pede o período fundamental de
x[n]=1 + e^{j\frac{4\pi}{7}n} \;-\; e^{j\frac{2\pi}{5}n}.
O conteúdo é periodicidade de sinais em tempo discreto: um termo e^{j\Omega n} é periódico se existir inteiro N>0 tal que
e^{j\Omega(n+N)} = e^{j\Omega n},
isto é, \Omega N = 2\pi m para algum m\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Analisamos cada termo exponencial separadamente. O termo constante 1 é normalmente considerado periódico para qualquer N, então não impõe restrição ao período.

Passo 3

Para e^{j\frac{4\pi}{7}n}, temos \Omega_1 = \tfrac{4\pi}{7}. A condição de periodicidade é
\Omega_1 N = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad \frac{4\pi}{7}N = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{7}N = 2m \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{7}{2}\,m.
Como N deve ser inteiro, escolhemos o menor m par, m=2, obtendo
N_1 = \frac{7}{2}\times 2 = 7.

Passo 4

Para e^{j\frac{2\pi}{5}n}, temos \Omega_2 = \tfrac{2\pi}{5}. A condição é
\frac{2\pi}{5}N = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{5}N = m \quad\Longrightarrow\quad N = 5m.
O menor inteiro positivo ocorre em m=1, logo
N_2 = 5.

Passo 5

O período fundamental do sinal soma dos termos periódicos é o mínimo N>0 que seja múltiplo comum de N_1 e N_2. Assim
N_0 = \mathrm{lcm}(7,5) = 35.

Resposta

O período fundamental de x[n] é 35.

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