14)Considere uma superfície condutora localizada no plano z=0, e uma esfera de raio a, carregada eletricamente com uma carga positiva Q, com centro no ponto (0,0, \mathrm{~h}) do sistema de coordenadas cartesianas.
a) Determine a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto P localizado na superfície condutora.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma superfície condutora localizada no plano (z=0).
  • Uma esfera de raio \,a, carregada com carga positiva \,Q, com centro em (0,0,h).
  • Pergunta: determinar a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto P qualquer localizado na superfície condutora.
Observações e hipóteses necessárias (não perguntadas, mas essenciais para que a questão tenha solução única):
  • Supõe‑se que h>a (a esfera está inteiramente acima do plano).
  • Adoto a hipótese usual para este tipo de problema: a superfície condutora do plano está aterrada (potencial 0). Se não estiver aterrada, a resposta ficaria só em função do potencial do condutor.
  • Para simplificar e usar o método de imagens de forma direta, interpretamos a esfera carregada como geradora externa de campo equivalente a uma carga pontual Q localizada no seu centro (isto é válido para o potencial externo de uma distribuição esférica simétrica). Vou calcular a diferença de potencial entre o ponto da superfície da esfera mais próximo do plano (ponto sobre o eixo z, em z=h-a) e qualquer ponto P sobre o plano condutor (todos têm o mesmo potencial, por ser condutor).

Passo 2

Rápida revisão do que usamos (aula curta e prática):
  • Potencial devido a uma carga pontual \,q em um ponto a uma distância \,r é
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e r é a distância entre o ponto de cálculo e a carga.
  • Método de imagens (ideia): para um ponto carga acima de um plano condutor aterrado, a solução do problema no semi‑espaço acima do plano é a mesma do campo criado pela carga real mais uma carga imagem de igual módulo e sinal oposto colocada na posição espelhada em relação ao plano. Essa carga imagem garante V=0 sobre o plano. É uma técnica para satisfazer a condição de contorno do condutor.

Passo 3

Aplicando o método de imagens ao nosso caso (carga pontual Q no centro da esfera em (0,0,h)):
  • Substituímos o condutor aterrado por uma carga imagem -Q localizada em (0,0,-h).
  • Assim, no semi‑espaço z>0 o potencial total é soma dos potenciais das duas cargas:
V(x,y,z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}}-\frac{Q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+h)^2}}\right).
  • Verificação rápida: para z=0 (plano), os dois termos têm a mesma magnitude e sinais opostos, então V=0 — condição satisfeita.

Passo 4

Escolhendo o ponto na superfície da esfera que vamos usar (o mais simples e usual):
  • Ponto da superfície da esfera mais próximo do plano (sobre o eixo z): coordenadas (0,0,h-a). Esse ponto está a distância a do centro da esfera (pela definição de raio).
  • Um ponto P na superfície condutora (qualquer ponto do plano) tem potencial V_P=0 (condutor aterrado).

Passo 5

Calcular distâncias e o potencial no ponto da superfície da esfera:
  • Distância do ponto (0,0,h-a) à carga real Q em (0,0,h) é
r_{Q} = a.
  • Distância do mesmo ponto à carga imagem -Q em (0,0,-h) é
r_{\text{img}} = (h - a) - (-h) = 2h - a.
  • Portanto o potencial no ponto da superfície da esfera (soma das contribuições) é
V_{\text{esfera}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{a}-\frac{Q}{2h-a}\right).

Passo 6

Interpretação final e validade:
  • A diferença de potencial pedida é V_{\text{esfera}}-V_P. Como V_P=0,
\Delta V = V_{\text{esfera}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{a}-\frac{Q}{2h-a}\right).
  • Condições de validade: h>a e o condutor do plano está aterrado. Também foi assumido que a carga da esfera pode ser tratada como localizada no seu centro (campo externo equivalente ao de carga pontual Q no centro).

Resposta

\Delta V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\frac{Q}{a}-\frac{Q}{2h-a}\right)

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