14)Considere uma superfície condutora localizada no plano
, e uma esfera de raio a, carregada eletricamente com uma carga positiva
, com centro no ponto
do sistema de coordenadas cartesianas.
a) Determine a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto P localizado na superfície condutora.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma superfície condutora localizada no plano
. - Uma esfera de raio
, carregada com carga positiva , com centro em . - Pergunta: determinar a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto
qualquer localizado na superfície condutora.
Observações e hipóteses necessárias (não perguntadas, mas essenciais para que a questão tenha solução única):
- Supõe‑se que
(a esfera está inteiramente acima do plano). - Adoto a hipótese usual para este tipo de problema: a superfície condutora do plano está aterrada (potencial
). Se não estiver aterrada, a resposta ficaria só em função do potencial do condutor. - Para simplificar e usar o método de imagens de forma direta, interpretamos a esfera carregada como geradora externa de campo equivalente a uma carga pontual
localizada no seu centro (isto é válido para o potencial externo de uma distribuição esférica simétrica). Vou calcular a diferença de potencial entre o ponto da superfície da esfera mais próximo do plano (ponto sobre o eixo , em ) e qualquer ponto sobre o plano condutor (todos têm o mesmo potencial, por ser condutor).
Passo 2
Rápida revisão do que usamos (aula curta e prática):
- Potencial devido a uma carga pontual
em um ponto a uma distância é
onde
é a permissividade do vácuo e
é a distância entre o ponto de cálculo e a carga.
- Método de imagens (ideia): para um ponto carga acima de um plano condutor aterrado, a solução do problema no semi‑espaço acima do plano é a mesma do campo criado pela carga real mais uma carga imagem de igual módulo e sinal oposto colocada na posição espelhada em relação ao plano. Essa carga imagem garante
sobre o plano. É uma técnica para satisfazer a condição de contorno do condutor.
Passo 3
Aplicando o método de imagens ao nosso caso (carga pontual
no centro da esfera em
):
- Substituímos o condutor aterrado por uma carga imagem
localizada em . - Assim, no semi‑espaço
o potencial total é soma dos potenciais das duas cargas:
- Verificação rápida: para
(plano), os dois termos têm a mesma magnitude e sinais opostos, então — condição satisfeita.
Passo 4
Escolhendo o ponto na superfície da esfera que vamos usar (o mais simples e usual):
- Ponto da superfície da esfera mais próximo do plano (sobre o eixo
): coordenadas . Esse ponto está a distância do centro da esfera (pela definição de raio). - Um ponto
na superfície condutora (qualquer ponto do plano) tem potencial (condutor aterrado).
Passo 5
Calcular distâncias e o potencial no ponto da superfície da esfera:
- Distância do ponto
à carga real em é
- Distância do mesmo ponto à carga imagem
em é
- Portanto o potencial no ponto da superfície da esfera (soma das contribuições) é
Passo 6
Interpretação final e validade:
- A diferença de potencial pedida é
. Como ,
- Condições de validade:
e o condutor do plano está aterrado. Também foi assumido que a carga da esfera pode ser tratada como localizada no seu centro (campo externo equivalente ao de carga pontual no centro).