Exercício 4: (2022/II)
Uma bola (massa igual a 3,0 \mathrm{~kg} ) é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de \vec{v}_{0}=+20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \hat{j}. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade igual a \vec{g}=-10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \hat{j}. Determine o vetor impulso ( \vec{J} ) exercido pela força-peso, desde o lançamento até atingir a altura máxima.
Dados: m=3,0 \mathrm{~kg}, \vec{v}_{0}=+20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \hat{j} e \vec{g}=-10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \hat{j}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pergunta: determinar o vetor impulso \vec{J} exercido pela força-peso desde o lançamento até a altura máxima.
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=3{,}0\\ \mathrm{kg}
    • velocidade inicial: \vec{v}_{0}=+20\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{j}
    • aceleração da gravidade: \vec{g}=-10\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ \hat{j}
  • Observação importante extraída do enunciado: despreza-se resistência do ar, então a única força vertical é a força-peso \vec{P}=m\vec{g}.

Passo 2

Conceito e fórmula do impulso (aula rápida e amiga):
  • Impulso é a quantidade vetorial dada por \vec{J}=\displaystyle\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\,dt. Em palavras: é a força aplicada ao longo do tempo.
  • Outra forma muito prática (e equivalente) é usar a segunda lei em forma integral: o impulso é igual à variação do momento linear (quantidade de movimento):
\vec{J}=\Delta\vec{p}=m\vec{v}_{f}-m\vec{v}_{0}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \vec{J}: impulso (unidade \mathrm{N\cdot s} que equivale a \mathrm{kg\cdot m/s});
  • m: massa do corpo ( \mathrm{kg});
  • \vec{v}_{0}: velocidade inicial ( \mathrm{m/s});
  • \vec{v}_{f}: velocidade final no intervalo considerado ( \mathrm{m/s}).
Usaremos essa última forma porque é direta: basta saber a velocidade no início e no fim do processo.

Passo 3

Determinar a velocidade final \vec{v}_{f} no instante em que a bola atinge a altura máxima:
  • Por definição, no ponto mais alto a velocidade vertical é zero. Logo,
\vec{v}_{f} = \vec{0}.
  • Se quiser confirmar com cinemática: usar v = v_{0} + g t. Igualando v=0 t = -\dfrac{v_{0}}{g} = -\dfrac{20}{-10}=2\\ \mathrm{s}. Isso mostra que após 2\\ \mathrm{s} a velocidade chega a zero — coerente.

Passo 4

Calcular o impulso usando a variação do momento:
  • Aplicando \vec{J}=m\vec{v}_{f}-m\vec{v}_{0} e substituindo \vec{v}_{f}=\vec{0},
\vec{J}=m\vec{0}-m\vec{v}_{0}=-m\vec{v}_{0}.
  • Substituindo os valores (lembrando que \vec{v}_{0}=+20\\ \hat{j}):
\vec{J} = - (3{,}0)\,(20\\ \mathrm{m/s})\,\hat{j} = -60\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\\ \hat{j}.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma resposta por físico teimoso):
  • Força-peso: \vec{P}=m\vec{g} = 3{,}0\cdot(-10)\\ \hat{j} = -30\\ \mathrm{N}\\ \hat{j}.
  • Tempo até o topo: \Delta t = 2\\ \mathrm{s} (calculado no Passo 3).
  • Impulso pela definição integral com força constante: \vec{J}=\vec{P}\,\Delta t = (-30\\ \mathrm{N}\,\hat{j})\cdot(2\\ \mathrm{s}) = -60\\ \mathrm{N\cdot s}\\ \hat{j}.
  • Como 1\\ \mathrm{N\cdot s}=1\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, o resultado coincide: -60\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\\ \hat{j}.

Passo 6

Interpretação final e comentário encorajador:
  • O impulso é negativo na direção \hat{j} porque a força-peso aponta para baixo e reduz a velocidade positiva inicial até zerá-la.
  • Resultado numérico e unidades estão consistentes pelas duas formas de cálculo (variação de momento e força vezes tempo).
  • Bom trabalho! Já era — a forma direta \vec{J}=\Delta\vec{p} é a mais prática em prova quando conhece-se as velocidades.

Resposta

\vec{J}=-60\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\\ \hat{j}

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