14 A decomposição do ácido acético em fase gasosa, a 1189 K , avança segundo duas reações paralelas:
(1) \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH} \rightarrow \mathrm{CH}_{4}+\mathrm{CO}_{2} k^{1}=3,74 \mathrm{~s}^{-1}
(2) \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH} \rightarrow \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CO}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} k^{2}=4,65 \mathrm{~s}^{-1}
Qual é o rendimento percentual máximo que se pode obter do ceteno CH 2 CO nessa temperatura?

Passo 1

O enunciado dá duas reações paralelas de decomposição do ácido acético em fase gasosa a 1189\\ \mathrm{K}:
\text{(1) } \mathrm{CH_3COOH} \rightarrow \mathrm{CH_4}+\mathrm{CO_2},\qquad k^{1}=3,74\\ \mathrm{s}^{-1}
\text{(2) } \mathrm{CH_3COOH} \rightarrow \mathrm{CH_2CO}+\mathrm{H_2O},\qquad k^{2}=4,65\\ \mathrm{s}^{-1}
A pergunta é: qual o rendimento percentual máximo que se pode obter do ceteno \mathrm{CH_2CO} (produto da reação (2)) a essa temperatura?

Passo 2

Vamos modelar as concentrações com cinética de primeira ordem para reações paralelas. Defina:
[A](t)=\text{concentração de }\mathrm{CH_3COOH}\text{ no tempo }t,çã
[P_2](t)=\text{concentração de }\mathrm{CH_2CO}\text{ no tempo }t,çã
e a condição inicial [A](0)=[A]_0,\\ [P_2](0)=0.
Para reações paralelas de primeira ordem, a perda de [A] é a soma das taxas das duas vias, portanto a equação diferencial é
\frac{d[A]}{dt}=-(k^{1}+k^{2})[A].
Isto porque cada via consome \mathrm{CH_3COOH} à razão k^{i}[A]; somando as duas dá a taxa total de consumo.

Passo 3

Integramos a equação para [A](t). Separe variáveis e integre:
\frac{d[A]}{[A]}=-(k^{1}+k^{2})\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\frac{[A](t)}{[A]_0}=-(k^{1}+k^{2})t.
Portanto
[A](t)=[A]_0\,e^{-(k^{1}+k^{2})t}.
Agora a taxa de formação de \mathrm{CH_2CO} é \dfrac{d[P_2]}{dt}=k^{2}[A](t). Integrando de 0 a t com [P_2](0)=0:
[P_2](t)=k^{2}[A]_0\int_{0}^{t} e^{-(k^{1}+k^{2})\tau}\,d\tau = \frac{k^{2}}{k^{1}+k^{2}}[A]_0\left(1-e^{-(k^{1}+k^{2})t}\right).

Passo 4

O rendimento máximo ocorre quando t\to\infty (todas as moléculas iniciais de \mathrm{CH_3COOH} já reagiram por alguma via). Tomando o limite:
[P_2](\infty)=\frac{k^{2}}{k^{1}+k^{2}}[A]_0.
A fração do reagente que termina como \mathrm{CH_2CO} é, portanto,
\text{fração}=\frac{k^{2}}{k^{1}+k^{2}}.çã
Multiplicando por 100 obtemos o rendimento percentual máximo.

Passo 5

Substituindo os valores dados no enunciado (peguei k^{1}=3,74\\ \mathrm{s}^{-1} e k^{2}=4,65\\ \mathrm{s}^{-1} do enunciado):
k^{1}+k^{2}=3,74+4,65=8,39\\ \mathrm{s}^{-1},
\text{fração}=\frac{4,65}{8,39}\approx 0,554.çã
Portanto o rendimento percentual máximo é
0,554\times 100\%=55,4\%.
Força aí — já era meio caminho! É só usar a razão das constantes para obter o rendimento em reações paralelas.

Resposta

55,4\%

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