14-6 Uma determinaçāo simultănea de cobalto e níquel pode ser feita com base na absorção dos respectivos complexos com 8-hidroxiquinolina. As absortividades molares correspondentes nos máximos de absorção são as seguintes:
Absortividade Molar, e
365 nm 700 nm
Co 3.529 428,9
Ni 3.228 10,2
Calcule as concentrações molares de níquel e cobalto nas seguintes soluções, baseando-se nos dados:
Absorbância, A (células de \mathbf{1 , 0 0 ~} \mathbf{~ m} ) : \mathbf{3 6 5 ~ n m} = 0,598 e \mathbf{7 0 0 ~ n m} = 0,039

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    • Absortividades molares (unidades: \mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}; atenção: na tabela o separador de milhares é um ponto, então 3{,}529 significa 3529, e 3{,}228 significa 3228):
      • Cobalto: \varepsilon_{\text{Co},365} = 3529,\qquad \varepsilon_{\text{Co},700} = 428{,}9.
      • Níquel: \varepsilon_{\text{Ni},365} = 3228,\qquad \varepsilon_{\text{Ni},700} = 10{,}2.
    • Medidas de absorbância (célula de caminho óptico b=1{,}00\\ \text{cm}):
      • A_{365} = 0{,}598.
      • A_{700} = 0{,}039.
  • O que se pede:
    • Calcular as concentrações molares de níquel e de cobalto na solução, isto é c_{\text{Ni}} e c_{\text{Co}}, em \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 2

Relembre a lei de Beer–Lambert (aquela que usamos sempre para espectrofotometria): para uma única espécie pura,
A = \varepsilon\, b\, c,
onde
  • A é a absorbância (adimensional),
  • \varepsilon é a absortividade molar (em \mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}),
  • b é o comprimento do caminho óptico (em \mathrm{cm}),
  • c é a concentração (em \mathrm{mol\,L^{-1}}).
Para uma mistura com duas espécies que absorvem no mesmo comprimento de onda, as contribuições somam linearmente:
A_\lambda = \varepsilon_{\text{Co},\lambda}\, b\, c_{\text{Co}} + \varepsilon_{\text{Ni},\lambda}\, b\, c_{\text{Ni}}.
Como temos medidas em dois comprimentos de onda ( 365 e 700 nm) obtemos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas ( c_{\text{Co}} e c_{\text{Ni}}). O caminho óptico é b=1{,}00\\ \mathrm{cm}, então ele não altera os coeficientes numericamente (multiplicar por 1).

Passo 3

Escrevendo explicitamente as duas equações usando os dados:
\begin{cases} A_{365}=0{,}598 = 3529\, c_{\text{Co}} + 3228\, c_{\text{Ni}},\\[6pt] A_{700}=0{,}039 = 428{,}9\, c_{\text{Co}} + 10{,}2\, c_{\text{Ni}}. \end{cases}
As incógnitas são c_{\text{Co}} e c_{\text{Ni}}, em \mathrm{mol\,L^{-1}}.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema linear. Uma forma direta e organizada é usar a regra de Cramer. Definimos o determinante principal D e os determinantes D_{\text{Co}} e D_{\text{Ni}} (numeradores):
D = \begin{vmatrix} 3529 & 3228\\[2pt] 428{,}9 & 10{,}2 \end{vmatrix} = 3529\cdot10{,}2 - 3228\cdot428{,}9.
Calculemos os produtos passo a passo:
3529\cdot10{,}2 = 3529\times10 + 3529\times0{,}2 = 35290 + 705{,}8 = 35995{,}8.
3228\cdot428{,}9 = 3228\times400 + 3228\times28{,}9 = 1\,291\,200 + 93\,289{,}2 = 1\,384\,489{,}2.
Logo
D = 35\,995{,}8 - 1\,384\,489{,}2 = -1\,348\,493{,}4.
Agora os determinantes numeradores:
D_{\text{Co}} = \begin{vmatrix} 0{,}598 & 3228\\[2pt] 0{,}039 & 10{,}2 \end{vmatrix} = 0{,}598\cdot10{,}2 - 3228\cdot0{,}039.
Calcule:
0{,}598\cdot10{,}2 = 6{,}0996, \qquad 3228\cdot0{,}039 = 3228\times\frac{39}{1000} = \frac{3228\times39}{1000} = \frac{125892}{1000} = 125{,}892.
Portanto
D_{\text{Co}} = 6{,}0996 - 125{,}892 = -119{,}7924.
D_{\text{Ni}} = \begin{vmatrix} 3529 & 0{,}598\\[2pt] 428{,}9 & 0{,}039 \end{vmatrix} = 3529\cdot0{,}039 - 0{,}598\cdot428{,}9.
Calcule:
3529\cdot0{,}039 = 3529\times\frac{39}{1000} = \frac{3529\times39}{1000} = \frac{137631}{1000} = 137{,}631,
0{,}598\cdot428{,}9 = 0{,}598\times(400+28{,}9)=239{,}2 + 17{,}2822 = 256{,}4822.
Logo
D_{\text{Ni}} = 137{,}631 - 256{,}4822 = -118{,}8512.]

Passo 5

Aplicando a regra de Cramer:
c_{\text{Co}} = \frac{D_{\text{Co}}}{D} = \frac{-119{,}7924}{-1\,348\,493{,}4} = \frac{119{,}7924}{1\,348\,493{,}4}.
c_{\text{Ni}} = \frac{D_{\text{Ni}}}{D} = \frac{-118{,}8512}{-1\,348\,493{,}4} = \frac{118{,}8512}{1\,348\,493{,}4}.
Agora as divisões (faça-se a ideia: divide-se um número da ordem de 10^2 por outro da ordem de 10^6, logo o resultado fica da ordem de 10^{-4} a 10^{-5}):
  • Para o cobalto:
c_{\text{Co}} \approx 8{,}88\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
(mais precisamente c_{\text{Co}}\approx 8{,}883\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}).
  • Para o níquel:
c_{\text{Ni}} \approx 8{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
(mais precisamente c_{\text{Ni}}\approx 8{,}812\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}).
Explicação rápida: os sinais negativos no determinante principal e nos determinantes numeradores cancelaram, por isso as concentrações deram números positivos. As concentrações são pequenas porque as absorbâncias medidas são pequenas e/ou os coeficientes de extinção são grandes.

Passo 6

Chegamos às concentrações finais. Se precisar arredondar com outro número de algarismos significativos para relatório, ajuste conforme a exigência da prova; aqui dei valores com três algarismos significativos significativos na mantissa.
Força aí — você montou o sistema, aplicou Beer–Lambert e resolveu com Cramer. Se quiser, eu faço a mesma resolução por eliminação (substituição) passo a passo para treinar como fazer “na prova” sem determinantes.

Resposta

c_{\text{Ni}} = 8,81\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
c_{\text{Co}} = 8,88\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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