14-6 Uma determinaçāo simultănea de cobalto e níquel pode ser feita com base na absorção dos respectivos complexos com 8-hidroxiquinolina. As absortividades molares correspondentes nos máximos de absorção são as seguintes:
Absortividade Molar, e
365 nm 700 nm
Co 3.529 428,9
Ni 3.228 10,2
Calcule as concentrações molares de níquel e cobalto nas seguintes soluções, baseando-se nos dados:
Absorbância, A (células de \mathbf{1 , 0 0 ~} \mathbf{~ m} ) : \mathbf{3 6 5 ~ n m} = 0,902 e \mathbf{7 0 0 ~ n m} = 0,072

Passo 1

O enunciado fornece as absortividades molares dos complexos de cobalto (Co) e níquel (Ni) em dois comprimentos de onda, e as absorbâncias medidas em células de caminho óptico igual a 1,00\\ \text{cm}. Vou listar as informações relevantes exatamente como foram dadas (peguei estes números do enunciado):
  • Absortividade molar \varepsilon (unidades usuais: \text{L}\,\text{mol}^{-1}\,\text{cm}^{-1}):
    • em 365\\ \text{nm}: \varepsilon_{\text{Co},365}=3,529 e \varepsilon_{\text{Ni},365}=3,228.
      Observação: estes valores na tabela estão escritos como 3,529 e 3,228. Na prática, absortividades molares costumam ter ordem de 10^{3}; por coerência dimensional (e para obter concentrações positivas), interpreto estes números como \varepsilon_{\text{Co},365}=3{,}529\times10^{3} e \varepsilon_{\text{Ni},365}=3{,}228\times10^{3}.
    • em 700\\ \text{nm}: \varepsilon_{\text{Co},700}=428{,}9 e \varepsilon_{\text{Ni},700}=10{,}2.
  • Caminho óptico da célula: b=1{,}00\\ \text{cm}.
  • Absorbâncias medidas:
    • A_{365}=0{,}902.
    • A_{700}=0{,}072.
O que o problema pede: calcular as concentrações molares de níquel e cobalto na solução (ou seja, c_{\text{Co}} e c_{\text{Ni}}, em \text{mol}\,\text{L}^{-1}) usando os dados fornecidos.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aulas práticas):
  • Lei de Beer–Lambert para uma espécie pura: \,A=\varepsilon\,b\,c\,, em que:
    • \,A\, é a absorbância (adimensional);
    • \,\varepsilon\, é a absortividade molar ( \text{L}\,\text{mol}^{-1}\,\text{cm}^{-1});
    • \,b\, é o caminho óptico (em \text{cm});
    • \,c\, é a concentração molar ( \text{mol}\,\text{L}^{-1}).
  • Para uma mistura em que duas espécies absorvem no mesmo comprimento de onda (a contribuição total da absorbância é soma das contribuições), temos em cada comprimento de onda: A_\lambda=\varepsilon_{\text{Co},\lambda}\,b\,c_{\text{Co}}+\varepsilon_{\text{Ni},\lambda}\,b\,c_{\text{Ni}}.
  • Aqui temos duas equações (para \lambda=365\\ \text{nm} e \lambda=700\\ \text{nm}) e duas incógnitas ( c_{\text{Co}} e c_{\text{Ni}}). Podemos resolver o sistema linear resultante por substituição ou pela regra de Cramer. Vou usar a regra de Cramer porque ela organiza bem os cálculos.

Passo 3

Escrever o sistema numérico com os valores (usei a interpretação [\varepsilon_{365}) multiplicada por 10^{3} conforme explicado no Passo 1):
\begin{cases} A_{365}=0{,}902= \varepsilon_{\text{Co},365}\,b\,c_{\text{Co}} + \varepsilon_{\text{Ni},365}\,b\,c_{\text{Ni}} = (3{,}529\times10^{3})\cdot 1{,}00\cdot c_{\text{Co}} + (3{,}228\times10^{3})\cdot1{,}00\cdot c_{\text{Ni}},\\[6pt] A_{700}=0{,}072= \varepsilon_{\text{Co},700}\,b\,c_{\text{Co}} + \varepsilon_{\text{Ni},700}\,b\,c_{\text{Ni}} = 428{,}9\cdot1{,}00\cdot c_{\text{Co}} + 10{,}2\cdot1{,}00\cdot c_{\text{Ni}}. \end{cases}
Simplificando os fatores (b=1{,}00], o sistema fica
\begin{cases} 3529\,c_{\text{Co}} + 3228\,c_{\text{Ni}} = 0{,}902,\\[4pt] 428{,}9\,c_{\text{Co}} + 10{,}2\,c_{\text{Ni}} = 0{,}072. \end{cases}
Aqui c_{\text{Co}} e c_{\text{Ni}} estão em \text{mol}\,\text{L}^{-1}.]

Passo 4

Resolver o sistema por Cramer. Definir o determinante principal D e os determinantes substituídos D_{c_{\text{Co}}} e D_{c_{\text{Ni}}}:
D = \begin{vmatrix} 3529 & 3228\\[2pt] 428{,}9 & 10{,}2 \end{vmatrix} =3529\cdot10{,}2 - 3228\cdot428{,}9.
Calcular cada multiplicação:
3529\cdot10{,}2 = 35\,995{,}8, \qquad 3228\cdot428{,}9 = 1\,384\,489{,}2.
Logo
D = 35\,995{,}8 - 1\,384\,489{,}2 = -1\,348\,493{,}4.
Agora D_{c_{\text{Co}}} (substitui a primeira coluna pelas absorbâncias):
D_{c_{\text{Co}}} = \begin{vmatrix} 0{,}902 & 3228\\[2pt] 0{,}072 & 10{,}2 \end{vmatrix} =0{,}902\cdot10{,}2 - 3228\cdot0{,}072.
Calcular:
0{,}902\cdot10{,}2 = 9{,}2004, \qquad 3228\cdot0{,}072 = 232{,}416,
portanto
D_{c_{\text{Co}}}=9{,}2004 - 232{,}416 = -223{,}2156.
Agora D_{c_{\text{Ni}}} (substitui a segunda coluna):
D_{c_{\text{Ni}}} = \begin{vmatrix} 3529 & 0{,}902\\[2pt] 428{,}9 & 0{,}072 \end{vmatrix} =3529\cdot0{,}072 - 0{,}902\cdot428{,}9.
Calcular:
3529\cdot0{,}072 = 254{,}088, \qquad 0{,}902\cdot428{,}9 = 386{,}8678,
logo
D_{c_{\text{Ni}}}=254{,}088 - 386{,}8678 = -132{,}7798.
Pela regra de Cramer:
c_{\text{Co}}=\dfrac{D_{c_{\text{Co}}}}{D}=\dfrac{-223{,}2156}{-1\,348\,493{,}4}=1{,}65564\times10^{-4}\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1},
c_{\text{Ni}}=\dfrac{D_{c_{\text{Ni}}}}{D}=\dfrac{-132{,}7798}{-1\,348\,493{,}4}=9{,}8467\times10^{-5}\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.]

Passo 5

Interpretação final e arredondamento prático para apresentação na prova: normalmente damos as concentrações com três algarismos significativos. Assim:
c_{\text{Co}} \approx 1{,}66\times10^{-4}\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}, \qquad c_{\text{Ni}} \approx 9{,}85\times10^{-5}\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.
Se quiser converter para unidades mais intuitivas, por exemplo \mu\text{mol}\,\text{L}^{-1} (que é \muM): multiplicar por 10^{6} c_{\text{Co}}\approx165{,}6\\ \mu\text{M} e c_{\text{Ni}}\approx98{,}5\\ \mu\text{M}.
Força aí — é só organizar esses passos na prova: escrever a lei de Beer, montar o sistema linear e resolver (pode usar Cramer ou eliminar por substituição).

Resposta

c_{\text{Co}}=1{,}66\times10^{-4}\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}
c_{\text{Ni}}=9{,}85\times10^{-5}\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}

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