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Determine uma base para o subespaço vetorial de
definido por:
Determine uma base para o subespaço vetorial de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base para um subespaço vetorial
de polinômios de grau até 3,
. Esse subespaço é definido por duas condições:
Vamos precisar entender o que essas condições significam e como elas restringem os polinômios que pertencem a
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo, como bases de espaços vetoriais e derivadas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos representar um polinômio geral de grau até 3:
onde
são coeficientes reais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições dadas no enunciado. A primeira condição é
. Vamos substituir
no polinômio:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
A segunda condição é
. Primeiro, vamos calcular
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Substituindo
:
Somando
e
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para expressar alguns coeficientes em termos de outros.
Passo 6
Vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Agora, temos:
Passo 7
Vamos expressar o polinômio
em termos de
e
, que serão nossos parâmetros livres:
Passo 8
Isso significa que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios
e
. Portanto, esses dois polinômios formam uma base para
.
Resposta
Uma base para o subespaço
é: