21
Sejam U e W os subespaços das matrizes simétricas e antissimétricas de ordem 3, respectivamente. Exiba uma base para U e uma base para W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para dois subespaços: U, que é o conjunto das matrizes simétricas de ordem 3, e W, que é o conjunto das matrizes antissimétricas de ordem 3. A gente vai precisar entender o que são matrizes simétricas e antissimétricas, além de saber como formar uma base para esses espaços. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que os elementos estão dispostos de forma que simétricos em relação à diagonal principal sejam iguais.
Por exemplo, em uma matriz 3x3, se temos:
A = a & b & c b & d & e c & e & f
Note que os elementos fora da diagonal ( b, c, e) são repetidos simetricamente.

Passo 3

Agora, uma matriz antissimétrica (ou skewsymmetric) é aquela em que A = -A^T. Isso implica que todos os elementos da diagonal principal têm que ser zero, porque aii = -aii só é possível se aii = 0. Além disso, os elementos fora da diagonal satisfazem aij = -aji.
Por exemplo:
W = 0 & b & c -b & 0 & d -c & -d & 0
Aqui, b, c, d são quaisquer números reais, e os elementos fora da diagonal se anulam de forma antissimétrica.

Passo 4

Agora que entendemos o que são matrizes simétricas e antissimétricas, vamos construir uma base para cada um desses subespaços.
Base para U (matrizes simétricas 3x3):
Como uma matriz simétrica 3x3 tem 6 elementos independentes (três na diagonal e três acima da diagonal que se refletem abaixo), precisamos de 6 matrizes que cubram todas essas possibilidades.
Vamos construir essas matrizes:
S1 &= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , S2 = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , S3 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , S4 &= 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , S5 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 , S6 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Essas 6 matrizes formam uma base para U porque qualquer matriz simétrica 3x3 pode ser escrita como uma combinação linear delas.

Passo 5

Base para W (matrizes antissimétricas 3x3):
Em uma matriz antissimétrica 3x3, apenas os elementos acima da diagonal são independentes, já que os abaixo são suas oposições. Temos 3 elementos independentes, então precisamos de 3 matrizes base.
Vamos construir essas matrizes:
A1 &= 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , A2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 , A3 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0
Essas 3 matrizes formam uma base para W porque qualquer matriz antissimétrica 3x3 pode ser expressa como uma combinação linear delas.

Resposta

Uma base para U é composta pelas matrizes S1, S2, S3, S4, S5 e S6 conforme definidas acima.
Uma base para W é composta pelas matrizes A1, A2 e A3 conforme definidas acima.

Exercícios relacionados