Dados os subespaços vetoriais W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0, W2=(x, y, z) in R^3 mid x=z e W3=(0,0, z) in R^3 mid z in R, mostre que:
b) R^3=W2+W3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e outro em . Isso está relacionado ao conceito de soma de subespaços vetoriais na Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e :
  • : aqui, o primeiro e o terceiro componentes do vetor são iguais.
  • : nesse subespaço, só o terceiro componente pode variar, os outros são zero.

Passo 3

Vamos pegar um vetor qualquer em (a, b, c) = (x, y, z) + (0, 0, w) , digamos , e tentar escrever ele como a soma de um vetor de e outro de . Ou seja, queremos encontrar vetores em e em tal que:

Passo 4

Somando os vetores, temos:
(a, b, c) = (x + 0, y + 0, z + w) implies (a, b, c) = (x, y, z + w)
Isso nos dá as seguintes equações:
x = a y = b z + w = c

Passo 5

Como a + w = c implies w = c - a exige que , temos que . Então, substituindo na última equação:

Passo 6

Agora, podemos escolher:
(x, y, z) = (a, b, a) in W2 (0, 0, w) = (0, 0, c - a) in W3
E efetivamente:
(a, b, c) = (a, b, a) + (0, 0, c - a)

Resposta

Assim, todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e outro em . Portanto, .

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