Dados os subespaços vetoriais
,
e
, mostre que:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor em
e outro em
. Isso está relacionado ao conceito de soma de subespaços vetoriais na Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
:
-
: aqui, o primeiro e o terceiro componentes do vetor são iguais. -
: nesse subespaço, só o terceiro componente pode variar, os outros são zero.
Passo 3
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, e tentar escrever ele como a soma de um vetor de
e outro de
. Ou seja, queremos encontrar vetores
em
e
em
tal que:
Passo 4
Somando os vetores, temos:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 5
Como
exige que
, temos que
. Então, substituindo na última equação:
Passo 6
Agora, podemos escolher:
E efetivamente:
Resposta
Assim, todo vetor
em
pode ser escrito como a soma de um vetor em
e outro em
. Portanto,
.