15 Suponha que existe, numa certa região, um campo eletrostático e um campo magnetostático. Demonstre que embora o vetor de Poynting possa ser não nulo, a integral de superfície de
se anula sobre uma superfície fechada arbitrária no interior da região.
Passo 1
O enunciado considera um campo eletrostático
e um campo magnetostático
numa região qualquer, e pede para mostrar que, embora o vetor de Poynting
possa ser localmente não nulo, o fluxo total
através de qualquer superfície fechada
inteiramente contida nessa região é zero. Vamos usar as equações de Maxwell em regime estático e o teorema da divergência.
Passo 2
Em regime eletrostático e magnetostático valem as equações de Maxwell (no vácuo):
onde
é a densidade de corrente estacionária responsável pelo campo magnético.
Passo 3
A divergência do vetor de Poynting satisfaz a identidade vetorial
Logo,
Passo 4
Agora aplicamos o teorema da divergência ao volume
limitado pela superfície fechada
:
Passo 5
Dentro da região considerada não há fontes internas de corrente (isto é, as correntes que geram
estão fora do volume
), portanto
e daí
Passo 6
Substituindo no resultado do teorema da divergência, concluímos que o fluxo total de
pela superfície fechada é nulo: