1.14 Encontre um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto imath, jmath e imath+jmath+k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto formado por imath, jmath e imath + jmath + k. Estamos trabalhando com vetores recíprocos, que são vetores especiais usados em álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores recíprocos. Se temos um conjunto de vetores a, b e c, os vetores recíprocos a^*, b^* e c^* satisfazem:
a^* cdot a = 1, a^* cdot b = 0, a^* cdot c = 0
b^* cdot a = 0, b^* cdot b = 1, b^* cdot c = 0
c^* cdot a = 0, c^* cdot b = 0, c^* cdot c = 1
Ou seja, cada vetor recíproco é perpendicular aos outros vetores do conjunto e tem um produto escalar igual a 1 com o seu correspondente.

Passo 3

Vamos nomear os vetores dados:
a = imath, b = jmath, c = imath + jmath + k
E queremos encontrar a^*, b^* e c^* que satisfazem as condições de vetores recíprocos.

Passo 4

Vamos supor que os vetores recíprocos tenham a forma:
a^* = x1 imath + y1 jmath + z1 k
b^* = x2 imath + y2 jmath + z2 k
c^* = x3 imath + y3 jmath + z3 k
Agora, vamos aplicar as condições de reciprocidade usando o produto escalar.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a^* cdot a = 1:
(x1 imath + y1 jmath + z1 k) cdot imath = x1 = 1
Então, x1 = 1.

Passo 6

Agora, a^* cdot b = 0:
(x1 imath + y1 jmath + z1 k) cdot jmath = y1 = 0
Então, y1 = 0.

Passo 7

E a^* cdot c = 0:
(x1 imath + y1 jmath + z1 k) cdot (imath + jmath + k) = x1 + y1 + z1 = 1 + 0 + z1 = 0
Portanto, z1 = -1.

Passo 8

Então, temos:
a^* = 1 imath + 0 jmath -1 k = imath - k

Passo 9

Vamos repetir o processo para b^*. Primeiro, b^* cdot a = 0:
(x2 imath + y2 jmath + z2 k) cdot imath = x2 = 0
Então, x2 = 0.

Passo 10

Depois, b^* cdot b = 1:
(x2 imath + y2 jmath + z2 k) cdot jmath = y2 = 1
Então, y2 = 1.

Passo 11

E b^* cdot c = 0:
(x2 imath + y2 jmath + z2 k) cdot (imath + jmath + k) = x2 + y2 + z2 = 0 + 1 + z2 = 0
Portanto, z2 = -1.

Passo 12

Assim, temos:
b^* = 0 imath + 1 jmath -1 k = jmath - k

Passo 13

Finalmente, vamos encontrar c^*. As condições são:
c^* cdot a = 0
c^* cdot b = 0
c^* cdot c = 1
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 14

Primeiro, c^* cdot a = 0:
(x3 imath + y3 jmath + z3 k) cdot imath = x3 = 0
Então, x3 = 0.

Passo 15

Depois, c^* cdot b = 0:
(x3 imath + y3 jmath + z3 k) cdot jmath = y3 = 0
Então, y3 = 0.

Passo 16

E c^* cdot c = 1:
(x3 imath + y3 jmath + z3 k) cdot (imath + jmath + k) = x3 + y3 + z3 = 0 + 0 + z3 = 1
Portanto, z3 = 1.

Passo 17

Então, temos:
c^* = 0 imath + 0 jmath +1 k = k

Resposta

O conjunto de vetores recíprocos é:
a^* = imath - k, b^* = jmath - k, c^* = k

Exercícios relacionados