1.14 Encontre um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto formado por
,
e
. Estamos trabalhando com vetores recíprocos, que são vetores especiais usados em álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vetores recíprocos. Se temos um conjunto de vetores
,
e
, os vetores recíprocos
,
e
satisfazem:
Ou seja, cada vetor recíproco é perpendicular aos outros vetores do conjunto e tem um produto escalar igual a 1 com o seu correspondente.
Passo 3
Vamos nomear os vetores dados:
E queremos encontrar
,
e
que satisfazem as condições de vetores recíprocos.
Passo 4
Vamos supor que os vetores recíprocos tenham a forma:
Agora, vamos aplicar as condições de reciprocidade usando o produto escalar.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 6
Agora,
:
Então,
.
Passo 7
E
:
Portanto,
.
Passo 8
Então, temos:
Passo 9
Vamos repetir o processo para
. Primeiro,
:
Então,
.
Passo 10
Depois,
:
Então,
.
Passo 11
E
:
Portanto,
.
Passo 12
Assim, temos:
Passo 13
Finalmente, vamos encontrar
. As condições são:
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 14
Primeiro,
:
Então,
.
Passo 15
Depois,
:
Então,
.
Passo 16
E
:
Portanto,
.
Passo 17
Então, temos:
Resposta
O conjunto de vetores recíprocos é: