Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre e d(A times B) / d t
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores que mudam com o tempo. O vetor A(t) é dado por A = imath cos omega t + jmath sin omega t e o vetor B(t) é B = t imath + t^2 jmath + t^3 k. A tarefa é encontrar a derivada em relação ao tempo do produto interno (A cdot B) e do produto vetorial (A times B). Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar vetores, conhecer as fórmulas de produto interno e produto vetorial, e aplicar as regras de derivação de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada do produto interno ddt (A cdot B). O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos de suas componentes correspondentes. Então,
A cdot B = (cos omega t)(t) + (sin omega t)(t^2) + (0)(t^3) = t cos omega t + t^2 sin omega t.
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a t.
Passo 3
Para derivar t cos omega t + t^2 sin omega t, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então:
ddt (t cos omega t) = dtdt cos omega t + t ddt (cos omega t) = 1 cdot cos omega t + t (-omega sin omega t) = cos omega t - omega t sin omega t.
E:
ddt (t^2 sin omega t) = ddt (t^2) sin omega t + t^2 ddt (sin omega t) = 2t sin omega t + t^2 omega cos omega t.
Passo 4
Juntando as duas derivadas:
ddt (A cdot B) = cos omega t - omega t sin omega t + 2t sin omega t + omega t^2 cos omega t.
Podemos simplificar agrupando termos semelhantes:
ddt (A cdot B) = cos omega t + omega t^2 cos omega t + (2t - omega t) sin omega t.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial ddt (A times B). Primeiro, precisamos encontrar o produto vetorial A times B.
Passo 6
Calculando o produto vetorial:
A times B = imath & jmath & k cos omega t & sin omega t & 0 t & t^2 & t^3 = imath (sin omega t cdot t^3 - 0 cdot t^2) - jmath (cos omega t cdot t^3 - 0 cdot t) + k (cos omega t cdot t^2 - sin omega t cdot t).
Simplificando:
A times B = imath (sin omega t cdot t^3) - jmath (cos omega t cdot t^3) + k (cos omega t cdot t^2 - sin omega t cdot t).
Passo 7
Agora, vamos derivar cada componente em relação a t:
ddt (A times B) = imath ddt (t^3 sin omega t) - jmath ddt (t^3 cos omega t) + k ddt (t^2 cos omega t - t sin omega t).
Usamos a regra do produto novamente para cada termo:
Para imath:
ddt (t^3 sin omega t) = 3t^2 sin omega t + t^3 omega cos omega t.
Para jmath:
ddt (t^3 cos omega t) = 3t^2 cos omega t - t^3 omega sin omega t.
Para k:
ddt (t^2 cos omega t - t sin omega t) = 2t cos omega t - t^2 omega sin omega t - sin omega t - t omega cos omega t.
Passo 8
Juntando tudo:
ddt (A times B) = imath (3t^2 sin omega t + t^3 omega cos omega t) - jmath (3t^2 cos omega t - t^3 omega sin omega t) + k (2t cos omega t - t^2 omega sin omega t - sin omega t - t omega cos omega t).
Resposta
ddt (A cdot B) = cos omega t + omega t^2 cos omega t + (2t - omega t) sin omega t
ddt (A times B) = imath (3t^2 sin omega t + t^3 omega cos omega t) - jmath (3t^2 cos omega t - t^3 omega sin omega t) + k (2t cos omega t - t^2 omega sin omega t - sin omega t - t omega cos omega t)