14- A energia de ativação de uma reação não-catalisada é 95 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. A adição de um catalisador diminui a energia de ativação para 55 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. Supondo que o fator de colisão permaneça o mesmo, por qual fator o catalisador aumenta a velocidade de reação (a) 25^{\circ} \mathrm{C}; (b) 125^{\circ} \mathrm{C}. [14.73]. pág. 527.

Passo 1

O enunciado pede: por qual fator um catalisador aumenta a velocidade de uma reação nas temperaturas (a) 25^\circ\mathrm{C} e (b) 125^\circ\mathrm{C}, supondo que o fator de colisão (pré-exponencial) permanece o mesmo.
Informações dadas:
\begin{aligned} &E_{a,\text{não catalisada}} = 95\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}},\\\ &E_{a,\text{catalisada}} = 55\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}. \end{aligned}ã
Não foi fornecida nenhuma outra informação; usar a hipótese de que o fator de colisão A é igual nos dois casos.

Passo 2

Princípio que vamos usar (sem pular etapas): a equação de Arrhenius dá a constante de velocidade k em função da energia de ativação, do fator de colisão e da temperatura. A forma é
k = A \exp\!\biggl(-\frac{E_a}{RT}\biggr).
Explicando cada símbolo:
  • k é a constante de velocidade (proporcional à velocidade da reação).
  • A é o fator de colisão (pré-exponencial), assume-se igual com e sem catalisador.
  • E_a é a energia de ativação por mol (em unidades de energia por mol).
  • R é a constante dos gases, em unidades compatíveis com E_a (usar R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}).
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.

Passo 3

Como A é o mesmo nos dois casos, o fator de aumento da velocidade (razão entre constantes de velocidade) é
\frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{não}}} = \frac{A\exp\!\bigl(-\dfrac{E_{a,\text{cat}}}{RT}\bigr)}{A\exp\!\bigl(-\dfrac{E_{a,\text{não}}}{RT}\bigr)} = \exp\!\biggl(\frac{E_{a,\text{não}}-E_{a,\text{cat}}}{RT}\biggr).ããã
Definimos a diferença de energias:
\Delta E_a = E_{a,\text{não}}-E_{a,\text{cat}} = 95\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} - 55\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} = 40\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.ã
Como R está em \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}, convertemos \Delta E_a para joules por mol:
\Delta E_a = 40\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} = 40\,000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.

Passo 4

A fórmula final que vamos usar para o fator é, portanto:
\text{fator} = \exp\!\biggl(\frac{40\,000}{R\,T}\biggr),
com R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}. Para passar de Celsius para kelvin usamos T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 5

Cálculo para (a) 25^\circ\mathrm{C}:
T = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculemos o denominador RT:
RT = 8{,}314 \times 298{,}15 \approx 2478{,}82\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
O expoente fica
\frac{40\,000}{RT} \approx \frac{40\,000}{2478{,}82} \approx 16{,}135.
Portanto o fator é
\exp(16{,}135) \approx 1{,}02\times 10^{7}.
Interpretação curta: ao diminuir E_a em 40\\ \mathrm{kJ/mol}, à temperatura de 25^\circ\mathrm{C} a reação fica cerca de 1{,}02\times 10^{7} vezes mais rápida (se A não muda).

Passo 6

Cálculo para (b) 125^\circ\mathrm{C}:
T = 125 + 273{,}15 = 398{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculemos RT:
RT = 8{,}314 \times 398{,}15 \approx 3310{,}22\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
O expoente fica
\frac{40\,000}{RT} \approx \frac{40\,000}{3310{,}22} \approx 12{,}080.
Portanto o fator é
\exp(12{,}080) \approx 1{,}76\times 10^{5}.
Interpretação curta: a 125^\circ\mathrm{C} o mesmo catalisador aumenta a velocidade em cerca de 1{,}76\times 10^{5} vezes (novamente assumindo A constante).

Resposta

(a) \,1{,}02\times 10^{7}
(b) \,1{,}76\times 10^{5}

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