14 Se
for derivável, então
.
Passo 1
O enunciado afirma uma igualdade sobre derivadas: diz que, se
for derivável, então
O que é pedido implicitamente: verificar se essa igualdade é verdadeira para todo
em que a expressão faz sentido. Informações dadas:
-
é derivável (interpretar: derivável no ponto onde for necessário). - A função composta considerada é
. - A expressão envolve
tanto avaliada em (no enunciado) quanto, como veremos, provavelmente avaliada em outro ponto.
Passo 2
Lembra do enunciado do Regra da Cadeia (chain rule)? Vou explicar com calma porque é a peça chave aqui.
Se tiver uma função composta
, onde
é derivável em
e
é derivável em
, então a Regra da Cadeia diz:
O que cada coisa significa:
-
é a função interna (aquela que entra em ). -
é a derivada de avaliada no ponto . -
é a derivada da função interna em relação a .
Em palavras: para derivar uma composição, deriva-se a externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da interna.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: aqui a função interna é
. Vamos calcular
.
Escreve
. Derivando:
Observação importante de domínio: essa fórmula vale para
. Em
a derivada de
não é finita (tende ao infinito), então, ao aplicar a Regra da Cadeia de modo direto, precisamos considerar pontos com
.
Passo 4
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para
. Pelo que vimos:
Em forma compacta:
ou seja, a derivada envolve
avaliada em
, não em
. Esse detalhe (o ponto onde
é avaliado) é precisamente o que torna a afirmativa do enunciado incorreta em geral.
Passo 5
Para fixar com um exemplo concreto (e mostrar que a afirmativa do enunciado é falsa), escolha
. Então:
-
. - Logo
.
Agora calcule a expressão do enunciado (a errada):
que não é igual a
para (quase) qualquer
. Assim obtemos um contraexemplo simples que demonstra que a igualdade do enunciado não vale em geral.
Passo 6
Resumo didático e dicas para a prova:
- Sempre que ver uma derivada de
, aplique a Regra da Cadeia: derive avaliando em e multiplique por . - Verifique cuidadosamente em que ponto a derivada de
é avaliada: frequentemente a confusão é trocar por . - Cheque domínio: aqui
pede e a fórmula com pede . - Para checar rapidamente se uma identidade que envolve derivadas está correta, use um polinômio simples (como
ou ) como teste — se falhar, a identidade é falsa.
Resposta
Falso.
(para
).