14 Se f for derivável, então \frac{d}{d x} f(\sqrt{x})=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado afirma uma igualdade sobre derivadas: diz que, se f for derivável, então
\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{x}}.
O que é pedido implicitamente: verificar se essa igualdade é verdadeira para todo x em que a expressão faz sentido. Informações dadas:
  • f é derivável (interpretar: derivável no ponto onde for necessário).
  • A função composta considerada é x \mapsto f(\sqrt{x}).
  • A expressão envolve f' tanto avaliada em x (no enunciado) quanto, como veremos, provavelmente avaliada em outro ponto.

Passo 2

Lembra do enunciado do Regra da Cadeia (chain rule)? Vou explicar com calma porque é a peça chave aqui.
Se tiver uma função composta h(x) = f(u(x)), onde u é derivável em x e f é derivável em u(x), então a Regra da Cadeia diz:
h'(x) = f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
O que cada coisa significa:
  • u(x) é a função interna (aquela que entra em f).
  • f'\big(u(x)\big) é a derivada de f avaliada no ponto u(x).
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
    Em palavras: para derivar uma composição, deriva-se a externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da interna.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: aqui a função interna é u(x) = \sqrt{x}. Vamos calcular u'(x).
Escreve \sqrt{x} = x^{1/2}. Derivando:
\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação importante de domínio: essa fórmula vale para x>0. Em x=0 a derivada de \sqrt{x} não é finita (tende ao infinito), então, ao aplicar a Regra da Cadeia de modo direto, precisamos considerar pontos com x>0.

Passo 4

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para h(x)=f(\sqrt{x}). Pelo que vimos:
\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = f'\big(\sqrt{x}\big)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Em forma compacta:
\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = \frac{f'\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}},\qquad (x>0),
ou seja, a derivada envolve f' avaliada em \sqrt{x}, não em x. Esse detalhe (o ponto onde f' é avaliado) é precisamente o que torna a afirmativa do enunciado incorreta em geral.

Passo 5

Para fixar com um exemplo concreto (e mostrar que a afirmativa do enunciado é falsa), escolha f(t)=t^2. Então:
  • f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x.
  • Logo \dfrac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = \dfrac{d}{dx} x = 1.
Agora calcule a expressão do enunciado (a errada):
\frac{f'(x)}{2\sqrt{x}} = \frac{2x}{2\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x},
que não é igual a 1 para (quase) qualquer x>0. Assim obtemos um contraexemplo simples que demonstra que a igualdade do enunciado não vale em geral.

Passo 6

Resumo didático e dicas para a prova:
  • Sempre que ver uma derivada de f(g(x)), aplique a Regra da Cadeia: derive f avaliando em g(x) e multiplique por g'(x).
  • Verifique cuidadosamente em que ponto a derivada de f é avaliada: frequentemente a confusão é trocar f'(g(x)) por f'(x).
  • Cheque domínio: aqui \sqrt{x} pede x\ge 0 e a fórmula com 1/(2\sqrt{x}) pede x>0.
  • Para checar rapidamente se uma identidade que envolve derivadas está correta, use um polinômio simples (como t^2 ou t^3) como teste — se falhar, a identidade é falsa.

Resposta

Falso. \displaystyle \frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = \frac{f'\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}} (para x>0).

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