8 Se a reta x=1 for uma assíntota vertical de y=f(x), então f não está definida em 1 .

Passo 1

O enunciado afirma a proposição: “Se a reta \,x=1\, for uma assíntota vertical de y=f(x), então f não está definida em 1.” Precisa-se decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática de assíntota vertical. Diz-se que a reta \,x=1\, é uma assíntota vertical de y=f(x) se, ao menos, uma das seguintes iguais ocorre:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=\pm\infty.
Essa definição fala sobre o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita. Note que a definição exige que f esteja definida em pontos diferentes de 1 suficientemente próximos de 1 (ou seja, na vizinhança perfurada de 1), mas não diz nada sobre o valor de f exatamente em x=1.
Explicar a implicação lógica: a definição de assíntota vertical impõe comportamento divergente das imagens quando x se aproxima de 1, mas o valor f(1) — se existir — não influencia esses limites laterais. Portanto, a existência de uma assíntota vertical não impede que alguém atribua um valor (qualquer valor finito) a f(1).

Passo 3

Construir um contraexemplo explícito (isso prova que a proposição é falsa). Defina a função g\) por \[g(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] 0, & x=1. \end{cases}
Aqui g\] está definida em \(x=1 (com valor g(1)=0), e para x\neq1 tem a forma habitual de uma função com singularidade em 1.]

Passo 4

Calcular os limites laterais de g em 1:
\lim_{x\to1^-} g(x) = \lim_{x\to1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty, \qquad \lim_{x\to1^+} g(x) = \lim_{x\to1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty.
Ambos os limites laterais são infinitos (em sinais opostos), portanto pela definição \,x=1\, é uma assíntota vertical de y=g(x).

Passo 5

Conclusão a partir do contraexemplo: a função g tem \,x=1\, como assíntota vertical e, ao mesmo tempo, está definida em 1. Assim existe pelo menos um caso em que a hipótese da assíntota vertical não implica que f seja indefinida em 1. Logo a proposição do enunciado é falsa.

Resposta

Falso.

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