8 Se a reta
for uma assíntota vertical de
, então
não está definida em 1 .
Passo 1
O enunciado afirma a proposição: “Se a reta
for uma assíntota vertical de
, então
não está definida em
.” Precisa-se decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática de assíntota vertical. Diz-se que a reta
é uma assíntota vertical de
se, ao menos, uma das seguintes iguais ocorre:
Essa definição fala sobre o comportamento de
quando
se aproxima de
pela esquerda ou pela direita. Note que a definição exige que
esteja definida em pontos diferentes de
suficientemente próximos de
(ou seja, na vizinhança perfurada de
), mas não diz nada sobre o valor de
exatamente em
.
Explicar a implicação lógica: a definição de assíntota vertical impõe comportamento divergente das imagens quando se aproxima de
, mas o valor
— se existir — não influencia esses limites laterais. Portanto, a existência de uma assíntota vertical não impede que alguém atribua um valor (qualquer valor finito) a
.
Explicar a implicação lógica: a definição de assíntota vertical impõe comportamento divergente das imagens quando
Passo 3
Construir um contraexemplo explícito (isso prova que a proposição é falsa). Defina a função
Aqui
(com valor
), e para
tem a forma habitual de uma função com singularidade em
.]
Passo 4
Calcular os limites laterais de
em
:
Ambos os limites laterais são infinitos (em sinais opostos), portanto pela definição
é uma assíntota vertical de
.
Passo 5
Conclusão a partir do contraexemplo: a função
tem
como assíntota vertical e, ao mesmo tempo, está definida em
. Assim existe pelo menos um caso em que a hipótese da assíntota vertical não implica que
seja indefinida em
. Logo a proposição do enunciado é falsa.
Resposta
Falso.