(Q2-ITA/1986) Seja a \in R, 0<a<1 e \mathbf{f} a função real de variável real definida por:
f(x)=\frac{\left(a^{x^{2}}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\cos 2 \pi x+4 \cos \pi x+3}
Sobre o domínio \mathbf{A} desta função, podemos afirmar que:
a) (-\infty,-\sqrt{2}) \cap \mathrm{Z} \subset \mathrm{A}
b) \mathrm{A}=[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap \mathrm{Z}
c) (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \subset A
d) \{x \in R: x \notin Z e x \geq \sqrt{2}\} \subset A
e) \mathrm{A} \subset[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]

Passo 1

O enunciado dá a função real de variável real f e pede que identifiquemos qual das alternativas sobre o domínio \mathbf{A} de f é verdadeira. As informações que temos são:
  • O parâmetro satisfaz a\in\mathbb{R} e 0<a<1.
  • A função é
f(x)=\frac{\left(a^{x^{2}}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\cos 2\pi x+4\cos\pi x+3}.
As perguntas implícitas do enunciado são: quais x\in\mathbb{R} tornam a expressão bem definida (numerador real e denominador diferente de zero) e, com isso, qual alternativa (a)–(e) é correta.

Passo 2

Condição do numerador: a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Portanto precisamos de
a^{x^{2}}-a^{2}\ge 0,
ou seja
a^{x^{2}}\ge a^{2}.
Vou explicar como resolver essa desigualdade sabendo que 0<a<1.

Passo 3

Propriedade usada (aula curta): para 0<a<1 a função t\mapsto a^{t} é decrescente em t. Isso significa que, se t_{1}\le t_{2}, então a^{t_{1}}\ge a^{t_{2}}. Aplicando isso à nossa desigualdade com t_{1}=x^{2} e t_{2}=2, temos
a^{x^{2}}\ge a^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 2.
Portanto a condição do numerador fornece a restrição
x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}].
Observação: o caso de igualdade x^{2}=2 é permitido porque a raiz de zero é 0.

Passo 4

Condição do denominador: devemos ter
\cos 2\pi x+4\cos\pi x+3\neq 0.
Vou simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Lembrando que \cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1, tomamos \theta=\pi x e obtemos
\cos 2\pi x = 2\cos^{2}\pi x -1.
Substituindo na expressão do denominador:
\cos 2\pi x+4\cos\pi x+3 = 2\cos^{2}\pi x -1 +4\cos\pi x +3.

Passo 5

Continuando a simplificação:
2\cos^{2}\pi x -1 +4\cos\pi x +3 = 2\cos^{2}\pi x +4\cos\pi x +2.
Fatorando o 2:
2\cos^{2}\pi x +4\cos\pi x +2 = 2\bigl(\cos^{2}\pi x +2\cos\pi x +1\bigr).
O polinômio quadrático é um quadrado perfeito:
\cos^{2}\pi x +2\cos\pi x +1 = (\cos\pi x +1)^{2}.
Logo o denominador vale
\cos 2\pi x+4\cos\pi x+3 = 2(\cos\pi x +1)^{2}.

Passo 6

Interpretação do denominador: como é 2(\cos\pi x +1)^{2}, o denominador é sempre não negativo; ele é zero exatamente quando \cos\pi x +1=0, ou seja quando
\cos\pi x = -1.
Resolver \cos\pi x=-1: isso ocorre quando \pi x = (2k+1)\pi com k\in\mathbb{Z}. Dividindo por \pi obtém-se x=2k+1, isto é, exatamente os inteiros ímpares. Conclusão: o denominador é zero exatamente para x\in\{\,\text{inteiros ímpares}\,\}í, e nesses pontos a função não está definida.

Passo 7

Agora combinamos as duas condições:
  • Do numerador: x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}].
  • Do denominador: excluir os inteiros ímpares x=2k+1.
Portanto o domínio \mathbf{A} é
\mathbf{A}=\{x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\;|\; x\\ \text{não é inteiro ímpar}\}.ãéí
Em palavras: todos os reais entre -\sqrt{2} e \sqrt{2} (inclusive) exceto os pontos x=-1 e x=1, pois estes são os únicos inteiros ímpares dentro do intervalo.

Passo 8

Agora avaliamos as alternativas usando a forma de \mathbf{A} encontrada:
  • a) Afirma que (-\infty,-\sqrt{2})\cap\mathbb{Z}\subset\mathbf{A}. Mas inteiros menores que -\sqrt{2} (por exemplo x=-2,-3,\dots) não satisfazem x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}], então não pertencem a \mathbf{A}. Logo (a) é falsa.
  • b) Afirma \mathbf{A}=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\cap\mathbb{Z}. Isso diz que o domínio seria apenas os inteiros do intervalo. Mas \mathbf{A} contém infinitos reais não inteiros dentro do intervalo (por exemplo x=0,\\ x=0{,}5), então (b) é falsa.
  • c) Afirma (-\sqrt{2},\sqrt{2})\subset\mathbf{A}. Isso exigiria que todos os pontos do intervalo aberto estivessem no domínio; porém x=-1 e x=1 pertencem a (-\sqrt{2},\sqrt{2}) mas são excluídos (denominador zero). Logo (c) é falsa.
  • d) Afirma \{x\in\mathbb{R}: x\notin\mathbb{Z}\\ \text{e}\\ x\ge\sqrt{2}\}\subset\mathbf{A}. Mas para x>\sqrt{2} o radicando fica negativo (já vimos que é necessário x^{2}\le2), então esses x não pertencem ao domínio. Logo (d) é falsa.
  • e) Afirma \mathbf{A}\subset[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. Isso é exatamente a restrição imposta pelo numerador; como mostramos, todo x\in\mathbf{A} satisfaz x^{2}\le2, então (e) é verdadeira.

Resposta

e)

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