(Q2-ITA/1986) Seja
e
a função real de variável real definida por:
Sobre o domínio
desta função, podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função real de variável real
e pede que identifiquemos qual das alternativas sobre o domínio
de
é verdadeira. As informações que temos são:
- O parâmetro satisfaz
e . - A função é
As perguntas implícitas do enunciado são: quais
tornam a expressão bem definida (numerador real e denominador diferente de zero) e, com isso, qual alternativa (a)–(e) é correta.
Passo 2
Condição do numerador: a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Portanto precisamos de
ou seja
Vou explicar como resolver essa desigualdade sabendo que
.
Passo 3
Propriedade usada (aula curta): para
a função
é decrescente em
. Isso significa que, se
, então
. Aplicando isso à nossa desigualdade com
e
, temos
Portanto a condição do numerador fornece a restrição
Observação: o caso de igualdade
é permitido porque a raiz de zero é
.
Passo 4
Condição do denominador: devemos ter
Vou simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Lembrando que
, tomamos
e obtemos
Substituindo na expressão do denominador:
Passo 5
Continuando a simplificação:
Fatorando o
:
O polinômio quadrático é um quadrado perfeito:
Logo o denominador vale
Passo 6
Interpretação do denominador: como é
, o denominador é sempre não negativo; ele é zero exatamente quando
, ou seja quando
Resolver
: isso ocorre quando
com
. Dividindo por
obtém-se
, isto é, exatamente os inteiros ímpares. Conclusão: o denominador é zero exatamente para
, e nesses pontos a função não está definida.
Passo 7
Agora combinamos as duas condições:
- Do numerador:
. - Do denominador: excluir os inteiros ímpares
.
Portanto o domínio
é
Em palavras: todos os reais entre
e
(inclusive) exceto os pontos
e
, pois estes são os únicos inteiros ímpares dentro do intervalo.
Passo 8
Agora avaliamos as alternativas usando a forma de
encontrada:
-
a) Afirma que
. Mas inteiros menores que (por exemplo ) não satisfazem , então não pertencem a . Logo (a) é falsa. -
b) Afirma
. Isso diz que o domínio seria apenas os inteiros do intervalo. Mas contém infinitos reais não inteiros dentro do intervalo (por exemplo ), então (b) é falsa. -
c) Afirma
. Isso exigiria que todos os pontos do intervalo aberto estivessem no domínio; porém e pertencem a mas são excluídos (denominador zero). Logo (c) é falsa. -
d) Afirma
. Mas para o radicando fica negativo (já vimos que é necessário ), então esses não pertencem ao domínio. Logo (d) é falsa. -
e) Afirma
. Isso é exatamente a restrição imposta pelo numerador; como mostramos, todo satisfaz , então (e) é verdadeira.
Resposta
e)