14 - A fem autoinduzida num solenoide de indutância L varia no tempo conforme \varepsilon(t)=\varepsilon_{0} e^{-k t}. Levando em consideração que a carga é finita (ou seja, i=0 quando t=\infty ), determine a carga total que passa pelo solenoide (que atravessa um determinado ponto no fio que compõe o solenoide).

Passo 1

O enunciado fala de um solenoide de indutância L cuja fem autoinduzida varia no tempo como
\varepsilon(t)=\varepsilon_{0}\,e^{-k t}.
O conteúdo aqui é autoindutância: usamos a lei
\varepsilon(t)=-L\,\frac{di}{dt}
para encontrar i(t) e depois calculamos a carga total
Q=\int_{0}^{\infty}i(t)\,dt.

Passo 2

Aplique a lei da autoindução para escrever a equação diferencial:
-L\,\frac{di}{dt}=\varepsilon_{0}\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{di}{dt}=-\frac{\varepsilon_{0}}{L}e^{-k t}.

Passo 3

Integre em relação a t:
i(t)= -\frac{\varepsilon_{0}}{L}\int e^{-k t}dt =-\frac{\varepsilon_{0}}{L}\left(-\frac{1}{k}e^{-k t}\right)+C =\frac{\varepsilon_{0}}{kL}e^{-k t}+C.
Como a questão diz que a corrente vai a zero quando t\to\infty, temos i(\infty)=0\Rightarrow C=0.
Logo
i(t)=\frac{\varepsilon_{0}}{kL}\,e^{-k t}.

Passo 4

Agora a carga total que passa pelo fio (num ponto fixo) é
Q=\int_{0}^{\infty}i(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon_{0}}{kL}e^{-k t}dt =\frac{\varepsilon_{0}}{kL}\,\frac{1}{k} =\frac{\varepsilon_{0}}{k^{2}L}.

Resposta

Q=\frac{\varepsilon_{0}}{k^{2}L}.

Exercícios relacionados