12 - Num circuito LC em série, a carga inicial do capacitor é Q e ele está sendo descarregado. Quando a carga no capacitor é igual a Q / 2, qual é o fluxo magnético que atravessa cada uma das N espiras do indutor (como função de Q, N, L e C )?

Passo 1

No nosso circuito LC em série, o capacitor parte com carga Q e corrente zero. Ao descarregar, a energia oscila entre o capacitor e o indutor. Queremos achar o fluxo magnético por espira, \varphi, quando a carga no capacitor vale Q/2. Para isso usaremos conservação de energia e a relação entre corrente e fluxo no indutor.

Passo 2

A energia inicial no capacitor é
U_0 = \frac{Q^2}{2C}.
Quando a carga cai para \,Q/2, a energia remanescente no capacitor é
U_C = \frac{(Q/2)^2}{2C} = \frac{Q^2}{8C}.
Logo a energia transferida para o indutor é
U_L = U_0 - U_C = \frac{Q^2}{2C} - \frac{Q^2}{8C} = \frac{3Q^2}{8C}.

Passo 3

Sabemos que a energia armazenada no indutor pode ser escrita como
U_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2.
Igualando à expressão já obtida:
\frac{1}{2}L\,i^2 = \frac{3Q^2}{8C} \quad\Longrightarrow\quad i^2 = \frac{3Q^2}{4LC} \quad\Longrightarrow\quad i = \pm \frac{Q}{2}\sqrt{\frac{3}{LC}}.

Passo 4

O fluxo magnético por espira está dado por
\varphi = \frac{L\,i}{N}.
Substituindo o valor de i:
\varphi = \pm \frac{L}{N}\,\frac{Q}{2}\sqrt{\frac{3}{LC}} = \pm \frac{Q}{2N}\sqrt{\frac{3L}{C}}.

Resposta

\varphi = \pm \frac{Q}{2N}\sqrt{\frac{3L}{C}}

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