Considere um solenoide de comprimento L e raio R contendo N voltas de um fio por onde passa uma corrente i. (a) Determine uma expressão para o campo magnético num ponto ao longo do eixo do solenoide, do lado de fora do solenoide, como função da distância x até uma das pontas (considere x=0 no centro do solenoide e d a distância do centro até o ponto onde está sendo calculado o campo B ). (b) Mostre que para
valores muito grandes de L, e d=0, B se aproxima de B=\mu_{0} i N / L, para posições ao longo do eixo, no interior do solenoide, distante das bordas.

Passo 1

O enunciado trata de um solenoide de comprimento L, raio R, com N espiras igualmente distribuídas (densidade de espiras n=N/L) percorridas por uma corrente i. Queremos o campo magnético no eixo do solenoide, num ponto P situado a uma distância d do centro (fora ou dentro do solenoide). Em (a) vamos obter B(d) integrando a contribuição de cada volta pelo teorema de Biot–Savart; em (b) mostraremos que, se L\to\infty e d=0, então B\to\mu_{0}i\,N/L.

Passo 2

Uma volta circular de raio R, centrada no plano z'=0, produz no ponto P (eixo z, coordenada z=d) um campo
dB(z')=\frac{\mu_{0}\,i\,R^{2}}{2\bigl[R^{2}+(z'-d)^{2}\bigr]^{3/2}}
na direção do eixo. Como as espiras estão de z'=-L/2 até z'=+L/2 com densidade n=N/L, somamos continuamente:
B(d)=\int_{-L/2}^{+L/2}n\,dB(z') =\int_{-L/2}^{+L/2}\frac{\mu_{0}\,i\,n\,R^{2}}{2\bigl[R^{2}+(z'-d)^{2}\bigr]^{3/2}}\,dz'.

Passo 3

Fazendo a substituição u=z'-d, temos
B(d) =\frac{\mu_{0}\,i\,n\,R^{2}}{2} \int_{u=-L/2-d}^{u=+L/2-d}\frac{du}{\bigl[R^{2}+u^{2}\bigr]^{3/2}}
e sabe-se que
\int\frac{du}{(R^{2}+u^{2})^{3/2}} =\frac{u}{R^{2}\sqrt{R^{2}+u^{2}}}.
Aplicando os limites,
B(d) =\frac{\mu_{0}\,i\,n}{2} \biggl[\, \frac{(L/2-d)}{\sqrt{R^{2}+(L/2-d)^{2}}} \;+\;\frac{(L/2+d)}{\sqrt{R^{2}+(L/2+d)^{2}}} \biggr].

Passo 4

Substituindo n=N/L, obtemos a forma final para o campo no eixo a distância d do centro:
\boxed{% B(d) =\frac{\mu_{0}\,i\,N}{2L} \biggl[ \frac{L/2-d}{\sqrt{R^{2}+(L/2-d)^{2}}} +\frac{L/2+d}{\sqrt{R^{2}+(L/2+d)^{2}}} \biggr]. }

Passo 5

Para (b), fixamos d=0 e fazemos L\to\infty. Nesse caso
\frac{L/2\pm0}{\sqrt{R^{2}+(L/2\pm0)^{2}}} \;\xrightarrow[L\to\infty]{}\;1,
logo do fator entre colchetes temos 1+1=2. Assim
B(0)\xrightarrow[L\to\infty]{}\frac{\mu_{0}\,i\,N}{2L}\times2 =\frac{\mu_{0}\,i\,N}{L}.

Resposta

(a) B(d) =\frac{\mu_{0}\,i\,N}{2L} \biggl[ \frac{L/2-d}{\sqrt{R^{2}+(L/2-d)^{2}}} +\frac{L/2+d}{\sqrt{R^{2}+(L/2+d)^{2}}} \biggr].
(b) Para L\to\infty e d=0,
B\to\frac{\mu_{0}\,i\,N}{L}.

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