A vazão de ar utilizada para resfriar uma sala é 113 litros/s. O ar é transportado dentro de uma tubulação que apresenta diâmetro interno igual a 20 cm . Qual é o comprimento da região de entrada do escoamento de ar nesta tubulação?
\square m

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o comprimento da região de entrada do escoamento de ar nesta tubulação?”
Dados fornecidos (convertidos para unidades SI):
Q = 113\\ \text{L/s} = 0,113\\ \text{m}^3\!/\text{s}
D = 20\\ \text{cm} = 0,20\\ \text{m}
Nada mais foi informado (temperatura, pressão). Vou assumir propriedades típicas do ar à temperatura ambiente — eu explico e justifico isso no passo seguinte. Não resolvo ainda; só organizei o que temos.

Passo 2

O que é a “região de entrada”? É o comprimento inicial da tubulação em que o perfil de velocidade ainda está se desenvolvendo desde a entrada até alcançar o perfil plenamente desenvolvido. Para estimar esse comprimento precisamos descobrir se o escoamento é laminar ou turbulento (isso muda a fórmula). Para isso vamos calcular a velocidade média e o número de Reynolds.
Fórmula da área da seção circular (cada símbolo explicado):
A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde A é a área em \text{m}^2 e D é o diâmetro em \text{m}.
Calculemos A:
A=\frac{\pi (0,20)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 0,04}{4}=\pi\cdot 0,01 \approx 0,0314\\ \text{m}^2.

Passo 3

Velocidade média V (fórmula e explicação):
V=\frac{Q}{A},
onde Q é a vazão volumétrica e A a área. Substituindo:
V=\frac{0,113}{0,0314159}\approx 3,60\\ \text{m/s}.
Interpretando: o ar atravessa a seção com velocidade média aproximadamente \,3,6\\ \text{m/s}.

Passo 4

Agora calculamos o número de Reynolds, que determina o regime do escoamento. Fórmula e significado dos termos:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a massa específica do fluido ( \text{kg/m}^3), V é a velocidade média ( \text{m/s}), D é o diâmetro ( \text{m}) e \mu é a viscosidade dinâmica ( \text{Pa}\cdot\text{s}).
Como o enunciado não deu propriedades do ar, assumo ar à temperatura ambiente (aproximação usual em problemas de prova): tomo
\rho = 1,20\\ \text{kg/m}^3,\qquad \mu = 1,8\times 10^{-5}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Substituindo:
\rho V D = 1,20\cdot 3,60\cdot 0,20 = 0,864
\mathrm{Re}=\frac{0,864}{1,8\times 10^{-5}}\approx 4,8\times 10^{4}.
Interpretação do valor: como \mathrm{Re}\approx 4{,}8\times10^{4} é muito maior que 4000, o escoamento é claramente turbulento. (Regimes típicos: laminar \mathrm{Re}\lesssim 2300, transição 2300\!-\!4000, turbulento \mathrm{Re}\gtrsim 4000.)

Passo 5

Para escoamento turbulento existem correlações empíricas para o comprimento de entrada L_e. Duas fórmulas comuns:
  • Regra simples (ordem de grandeza): L_{e}\approx 10D.
  • Correlação empírica mais refinada: \displaystyle \frac{L_{e}}{D}=4{,}4\,\mathrm{Re}^{1/6}, que costuma dar uma estimativa mais precisa para turbulento (é uma forma empírica encontrada em livros-texto de mecânica dos fluidos).
Vou usar a correlação empírica \displaystyle \frac{L_{e}}{D}=4{,}4\,\mathrm{Re}^{1/6} porque ela leva em conta o efeito da velocidade (via \mathrm{Re}) e é apropriada quando já calculamos \mathrm{Re}. A regra 10D é um bom cheque rápido.

Passo 6

Calculemos \mathrm{Re}^{1/6}. Primeiro o logaritmo natural (para mostrar o passo a passo):
\ln(\mathrm{Re})=\ln\bigl(4{,}8\times10^{4}\bigr)\approx 10{,}78.
Dividindo por 6:
\frac{\ln(\mathrm{Re})}{6}\approx 1{,}7968.
Aplicando exponencial:
\mathrm{Re}^{1/6}=\exp\bigl(1{,}7968\bigr)\approx 6{,}03.

Passo 7

Agora aplicamos a correlação:
\frac{L_{e}}{D}=4{,}4\cdot 6{,}03 \approx 26{,}53.
Multiplicando por D para obter L_{e}:
L_{e}=26{,}53\cdot 0,20 \approx 5{,}306\\ \text{m}.
Arredondando com uma precisão razoável para prova:
L_{e}\approx 5{,}31\\ \text{m}.
Observação rápida (cheque de ordem de grandeza): a regra simples daria L_{e}\approx 10D=10\cdot 0,20=2{,}0\\ \text{m}; a correlação empírica dá um valor maior ( \approx 5{,}3\\ \text{m}), o que é comum para Reynolds moderadamente altos — a correlação é mais confiável que a regra de bolso. Se você usar outra temperatura / viscosidade, o valor muda um pouco.

Resposta

5,31 m

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