Sobreiro (1980) estudou experimentalmente a influencia da pressão na fluidização de partículas esféricas de vidro com ar a 20^{\circ} \mathrm{C}.
Pressão (atm) Porosidade na fluidização minima Velocidade na fluidização mínima (cm/s)
1 0,502 0,147
5 0,491 0,143
10 0,483 0,146
15 0,483 0,147
20 0,480 0,147
25 0,476 0,145
30 0,476 0,145
35 0,472 0,146
Sabendo-se que o diâmetro médio das partículas é 30,4 \mu \mathrm{~m}, estimar os valores da velocidade de fluidização mínima (escoamento considerando escoamento darcyano) e comparar os resultados experimentais. A densidade das partículas de vidro é 2,43 g/cm3.

Passo 1

O enunciado pede: estimar a velocidade de fluidização mínima (considerando escoamento darcyano) para as partículas esféricas do experimento e comparar esses valores com os valores experimentais fornecidos na tabela. Dados fornecidos (peguei estes dados da tabela do enunciado): \n
Pressão (atm) e valores medidos:
\begin{array}{l|l|l} \text{Pressão (atm)} & \text{Porosidade na fluidização mínima }(\epsilon) & \text{Velocidade experimental }U_{\text{exp}}\;(\text{cm/s})\\hline 1 & 0{,}502 & 0{,}147\\\\ 5 & 0{,}491 & 0{,}143\\\\ 10 & 0{,}483 & 0{,}146\\\\ 15 & 0{,}483 & 0{,}147\\\\ 20 & 0{,}480 & 0{,}147\\\\ 25 & 0{,}476 & 0{,}145\\\\ 30 & 0{,}476 & 0{,}145\\\\ 35 & 0{,}472 & 0{,}146 \end{array}ãçãí
Outros dados do enunciado: diâmetro médio das partículas \,d_p=30{,}4\\ \mu\mathrm{m} e densidade das partículas \,\rho_p=2{,}43\\ \mathrm{g/cm^3}.\n
Objetivo numérico: calcular U_{mf} teórico (escoamento darcyano) para cada pressão usando os \epsilon fornecidos e comparar com U_{\text{exp}}.

Passo 2

Conceito físico e equação básica (aula curta): ao atingir a fluidização mínima, a queda de pressão através do leito sólido iguala o peso aparente das partículas por unidade de área. Em forma de gradiente de pressão:
\frac{\Delta P}{H}=(1-\epsilon)\,(\rho_p-\rho_f)\,g,
onde \Delta P é a queda de pressão no leito de altura H, \epsilon é a porosidade do leito, \rho_f é a densidade do fluido (ar), \rho_p é a densidade das partículas e g é a aceleração da gravidade. Explicando variáveis: \epsilon é a fracção do volume ocupada pelo fluido; \rho_f depende da pressão; \rho_p é dada.
Para relacionar \Delta P/H com a velocidade superficial U do fluido usamos a equação de Ergun. A forma completa da equação de Ergun (para leitos de partículas esféricas) é:
\frac{\Delta P}{H}=150\frac{(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3}\frac{\mu U}{d_p^2}+1{,}75\frac{1-\epsilon}{\epsilon^3}\frac{\rho_f U^2}{d_p},
onde \mu é a viscosidade dinâmica do fluido e d_p o diâmetro das partículas. A explicação: o primeiro termo é o termo viscoso (laminar / Darcy), o segundo termo é o termo inercial. Em escoamento darcyano o termo inercial é desprezível (Reynolds de partícula pequeno), então mantemos só o termo viscoso (Ergun linear / Kozeny–Carman).

Passo 3

Igualando a queda de pressão (peso aparente) com o termo viscoso da Ergun e simplificando, obtemos a fórmula para U_{mf} (velocidade de fluidização mínima em regime darcyano):
150\frac{(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3}\frac{\mu U_{mf}}{d_p^2}=(1-\epsilon)(\rho_p-\rho_f)g.
Cancelando um fator (1-\epsilon) em ambos os lados:
150\frac{(1-\epsilon)}{\epsilon^3}\frac{\mu U_{mf}}{d_p^2}=(\rho_p-\rho_f)g.
Isolando U_{mf}:
\boxed{\,U_{mf}=\frac{d_p^2(\rho_p-\rho_f)g}{150\,\mu}\cdot\frac{\epsilon^3}{1-\epsilon}\,}
Comentário prático: essa fórmula dá U_{mf} em unidades compatíveis se d_p estiver em cm, densidades em g/cm ^3, \mu em g/(cm·s) e g em cm/s ^2 — então U_{mf} ficará em cm/s (mesma unidade da tabela experimental).

Passo 4

Conversões e valores constantes que vou usar (explico cada escolha): \n
  • Converter d_p: \,d_p=30{,}4\\ \mu\mathrm{m}=30{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}=3{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}.\n
  • Viscosidade dinâmica do ar a 20^\circ\mathrm{C}: uso \mu=1{,}81\times10^{-4}\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)} (valor padrão; a dependência com pressão é fraca para os pressões usadas).\n
  • Densidade do ar a 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}: uso \rho_{f,1\text{atm}}=1{,}204\\ \mathrm{kg/m^3}=0{,}001204\\ \mathrm{g/cm^3}. Como o ar é aproximadamente ideal, a densidade escala praticamente linear com a pressão absoluta (em atm), assim para pressão p (em atm) tomo \rho_f(p)=p\cdot0{,}001204\\ \mathrm{g/cm^3}.\n
  • Gravidade: g=980\\ \mathrm{cm/s^2}.\n
    Com estes valores, é conveniente calcular um coeficiente numérico fixo:
A=\frac{d_p^2 g}{150\mu}=\frac{(3{,}04\times10^{-3})^2\cdot980}{150\cdot1{,}81\times10^{-4}}\approx0{,}3337.
Assim a fórmula fica numericamente simples:
U_{mf}\;(\mathrm{cm/s})\approx 0{,}3337\;(\rho_p-\rho_f)\;\frac{\epsilon^3}{1-\epsilon},
com \rho_p e \rho_f em \mathrm{g/cm^3}.

Passo 5

Faço agora um cálculo exemplificado (mostro passo a passo para 1\\ \mathrm{atm}) e depois aplico o mesmo procedimento para todas as pressões.\n
Exemplo 1\\ \mathrm{atm}: \n
  • \rho_f(1)=1\cdot0{,}001204=0{,}001204\\ \mathrm{g/cm^3}.\n
  • \rho_p-\rho_f=2{,}43-0{,}001204=2{,}428796\\ \mathrm{g/cm^3}.\n
  • \epsilon=0{,}502\Rightarrow \epsilon^3=0{,}502^3=0{,}126506 e 1-\epsilon=0{,}498.\n
  • \dfrac{\epsilon^3}{1-\epsilon}=\dfrac{0{,}126506}{0{,}498}=0{,}2541.\n
  • Logo
U_{mf}(1\\ \mathrm{atm})\approx 0{,}3337\times2{,}428796\times0{,}2541\approx0{,}206\\ \mathrm{cm/s}.
Agora aplico o mesmo para todas as pressões e monto a comparação (valores arredondados a três casas decimais; calculei \rho_f=p\cdot0{,}001204 para cada p):
\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Pressão (atm)} & \epsilon & \rho_f\;(\mathrm{g/cm^3}) & U_{mf}\\ \text{(calculado, cm/s)} & U_{\text{exp}}\\ \text{(cm/s)}\\hline 1 & 0{,}502 & 0{,}001204 & 0{,}206 & 0{,}147\\\\ 5 & 0{,}491 & 0{,}006020 & 0{,}188 & 0{,}143\\\\ 10 & 0{,}483 & 0{,}012040 & 0{,}176 & 0{,}146\\\\ 15 & 0{,}483 & 0{,}018060 & 0{,}175 & 0{,}147\\\\ 20 & 0{,}480 & 0{,}024080 & 0{,}171 & 0{,}147\\\\ 25 & 0{,}476 & 0{,}030100 & 0{,}165 & 0{,}145\\\\ 30 & 0{,}476 & 0{,}036120 & 0{,}165 & 0{,}145\\\\ 35 & 0{,}472 & 0{,}042140 & 0{,}159 & 0{,}146 \end{array}ã
Também calculei o erro relativo percentual \,100\%\times(U_{mf}-U_{\text{exp}})/U_{\text{exp}}, para ter ideia da discrepância: aproximadamente +40\% em 1\\ \mathrm{atm}, reduzindo para \approx+9\% em 35\\ \mathrm{atm} (a discrepância diminui com aumento de pressão).

Passo 6

Verificação da hipótese darcyana (pequeno Reynolds de partícula): o número de Reynolds baseado em partícula é
Re_p=\frac{\rho_f U_{mf} d_p}{\mu}.
Calculei Re_p em dois extremos para confirmar que a aproximação laminar é razoável:
  • Em 1\\ \mathrm{atm}: Re_p\approx\frac{0{,}001204\times0{,}206\times3{,}04\times10^{-3}}{1{,}81\times10^{-4}}\approx4{,}2\times10^{-3}\ll1.
  • Em 35\\ \mathrm{atm}: Re_p\approx\frac{0{,}04214\times0{,}159\times3{,}04\times10^{-3}}{1{,}81\times10^{-4}}\approx1{,}12\times10^{-1}\ll1.
Portanto o regime é de fato laminar (Darcy) em todas as pressões testadas, justificando a aproximação usada.

Passo 7

Interpretação física da comparação e motivos da discrepância: \n
  • O modelo darcyano (termo viscoso da Ergun com constante 150) prevê U_{mf} sistematicamente maior que os valores experimentais nesta série de dados. A diferença é significativa em baixas pressões (ex.: ~40% a mais em 1\\ \mathrm{atm}) e diminui com pressão.\n
  • Possíveis causas (didática e prática): constantes empíricas (o fator 150 é aproximado e depende de esfericidade e arranjo de partículas), distribuição de tamanhos e aglomeração de partículas (a esfera ideal não é perfeita), efeitos de paredes do reator, imprecisão no valor de \mu com pressão (mesmo que pequeno), heterogeneidade do leito, ou pequenas forças de superfície. Para partículas tão pequenas pode haver ainda correções de escoamento de superfície, mas para d_p\approx30\\ \mu\mathrm{m} em ar à pressão alta isso normalmente não é dominante. Em resumo: o modelo capta a ordem de grandeza e a tendência, mas não bate numericamente com perfeição — coisa típica para modelos empíricos simplificados.

Resposta

1 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}206\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}147\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+40\%).\n
5 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}188\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}143\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+31{,}5\%).\n
10 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}176\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}146\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+20{,}5\%).\n
15 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}175\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}147\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+19{,}0\%).\n
20 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}171\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}147\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+16{,}3\%).\n
25 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}165\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}145\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+13{,}8\%).\n
30 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}165\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}145\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+13{,}5\%).\n
35 atm: U_{mf,\text{calc}} \approx 0{,}159\\ \mathrm{cm/s}; U_{\text{exp}}=0{,}146\\ \mathrm{cm/s} (erro \approx+8{,}6\%).

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