14 Um foguete passa pela Terra a
da velocidade da luz. Em seu interior, um astronauta que está passando por um exame físico tem sua altura medida enquanto está deitado, paralelo à direção em que a nave está se movendo. (a) Se a altura medida por seu médico dentro da nave fosse de
, qual seria a altura medida pela pessoa que assiste a partir da Terra? (b) Se a pessoa na Terra tivesse medido
, qual seria a altura do astronauta medida pelo médico que está na nave espacial? Essa seria uma altura razoável? (c) Suponha que o astronauta no item (a) se levante após o exame e esteja com seu corpo perpendicular à direção do movimento. Qual seria agora a altura medida pelo médico no foguete e pelo observador em terra?
Passo 1
O enunciado dá a velocidade do foguete em relação à Terra e pede três coisas (a, b, c). Dados e perguntas, claramente:
- Velocidade:
(ou seja da velocidade da luz). - (a) Dentro da nave, o médico mede a altura do astronauta deitado (paralelo à direção do movimento) como
. Pergunta: qual altura mede o observador na Terra? - (b) Se o observador na Terra medisse
, qual seria a altura medida pelo médico na nave? Isso seria razoável? - (c) Após o exame o astronauta fica em pé, com o corpo perpendicular à direção do movimento. Pergunta: agora qual é a altura medida pelo médico na nave e qual é a altura medida pelo observador na Terra?
Observações que nos ajudam: quando a medida é feita “dentro da nave” para um objeto que está em repouso na nave, essa é a medida própria do objeto; quando se mede do lado de fora (Terra) e o objeto está se movendo, a medida pode ser diferente. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Apresento a fórmula que vamos usar (não assuma nada ainda — eu explico): para comprimentos medidos ao longo da direção do movimento existe uma contração relativística dada por
onde:
-
é o comprimento próprio (o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso; aqui seria a medida feita pelo médico dentro da nave se o corpo estiver paralelo ao movimento), -
é o comprimento medido por um observador que vê o objeto se mover com velocidade , -
é a velocidade da luz.
Também é comum usar o fator de Lorentzdefinido por
e então a relação fica equivalente a
Explicação didática: a contração só ocorre na direção do movimento; componentes perpendiculares ao movimento não se contraem. O motivo físico tem a ver com como eventos simultâneos em um referencial não são simultâneos em outro; mas, para resolver provas, basta saber e aplicar a fórmula acima com atenção ao que é comprimento próprio
e o que é comprimento medido
.
Passo 3
Calculemos a quantidade comum necessária:
para
.
Primeiro
Primeiro
Então
Agora a raiz:
Vou usar
nas contas a seguir (mantendo precisão suficiente para uma prova).
Passo 4
Resolvendo o item (a). Aqui o médico dentro da nave mediu
(essa é a medida própria porque o astronauta está em repouso relativo ao médico e ao interior da nave, e o comprimento está ao longo da direção do movimento).
Usamos
Usamos
Substituindo os números:
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos) obtemos
Interpretação curta: para quem está na Terra, o astronauta deitado (paralelo ao movimento) parece bem mais baixo devido à contração longitudinal.
Passo 5
Resolvendo o item (b). Agora o dado é diferente: o observador na Terra mede
. Queremos a altura medida pelo médico na nave, isto é o comprimento próprio
(porque o astronauta está em repouso na nave).
Da relação
Da relação
isolamos
:
Substituindo:
Arredondando para 3 algarismos significativos:
Comentário sobre se é razoável: não, não é razoável para um humano. Isso significa que, se um observador na Terra realmente medisse a altura do astronauta deitado como
, então no referencial da nave esse mesmo astronauta teria comprimento próprio de cerca de
, o que é fisicamente incompatível com o tamanho real de um ser humano. Em outras palavras, isso indicaria que os dados são inconsistentes com a ideia de que um humano normal tem altura ~
no próprio referencial — ou seja, a situação hipotética do enunciado para (b) levaria a uma conclusão absurda para um humano.
Passo 6
Explicação física curta para reforçar: comprimento medido por um observador que vê o corpo em movimento é menor do que o comprimento próprio quando a medição é ao longo da direção do movimento. Se um observador em Terra mede
ao ver o corpo em movimento, então o comprimento próprio (medido no repouso do corpo) tem de ser maior; não é possível obter um comprimento próprio menor do que a medida feita num referencial onde o corpo está se movendo (a fórmula deixa isso claro). Portanto o resultado do item (b) era de esperar se um dado for fixo no referencial terrestre — mas fisicamente, escolher qual medida é a “real” depende de qual referencial é o do objeto (o próprio).
Passo 7
Resolvendo o item (c). Agora o astronauta se coloca em pé, de modo que seu corpo está perpendicular à direção do movimento. Importante: a contração relativística afeta apenas comprimentos na direção do movimento. Componentes perpendiculares ao movimento não sofrem contração. Consequentemente:
- No referencial da nave (médico): o comprimento próprio do astronauta na vertical continua sendo aquilo que o médico mede em repouso — que, no caso do item (a), era
. Então o médico mede
- No referencial da Terra (observador): como a altura agora é perpendicular à direção do movimento, o observador na Terra mede a mesma distância perpendicular, isto é não há contração. Logo
Breve justificativa técnica: a transformação de Lorentz mantém as dimensões transversais inalteradas; somente a componente paralela é multiplicada por
.
Passo 8
Recapitulando os resultados numéricos e o comentário sobre razoabilidade. Valores com unidades e arredondados de forma usual.
Resposta
(a)
(b) ; não, essa altura não seria razoável para um humano.
(c) médico: ; observador na Terra:
(b)
(c) médico: