14 Um foguete passa pela Terra a 91,0 \% da velocidade da luz. Em seu interior, um astronauta que está passando por um exame físico tem sua altura medida enquanto está deitado, paralelo à direção em que a nave está se movendo. (a) Se a altura medida por seu médico dentro da nave fosse de 2,00 \mathrm{~m}, qual seria a altura medida pela pessoa que assiste a partir da Terra? (b) Se a pessoa na Terra tivesse medido 2,00 \mathrm{~m}, qual seria a altura do astronauta medida pelo médico que está na nave espacial? Essa seria uma altura razoável? (c) Suponha que o astronauta no item (a) se levante após o exame e esteja com seu corpo perpendicular à direção do movimento. Qual seria agora a altura medida pelo médico no foguete e pelo observador em terra?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do foguete em relação à Terra e pede três coisas (a, b, c). Dados e perguntas, claramente:
  • Velocidade: v=0,91\,c (ou seja 91{,}0\% da velocidade da luz).
  • (a) Dentro da nave, o médico mede a altura do astronauta deitado (paralelo à direção do movimento) como 2{,}00\\ \mathrm{m}. Pergunta: qual altura mede o observador na Terra?
  • (b) Se o observador na Terra medisse 2{,}00\\ \mathrm{m}, qual seria a altura medida pelo médico na nave? Isso seria razoável?
  • (c) Após o exame o astronauta fica em pé, com o corpo perpendicular à direção do movimento. Pergunta: agora qual é a altura medida pelo médico na nave e qual é a altura medida pelo observador na Terra?
    Observações que nos ajudam: quando a medida é feita “dentro da nave” para um objeto que está em repouso na nave, essa é a medida própria do objeto; quando se mede do lado de fora (Terra) e o objeto está se movendo, a medida pode ser diferente. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar (não assuma nada ainda — eu explico): para comprimentos medidos ao longo da direção do movimento existe uma contração relativística dada por
L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},
onde:
  • L_0 é o comprimento próprio (o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso; aqui seria a medida feita pelo médico dentro da nave se o corpo estiver paralelo ao movimento),
  • L é o comprimento medido por um observador que vê o objeto se mover com velocidade v,
  • c é a velocidade da luz.
    Também é comum usar o fator de Lorentz \gamma definido por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}},
e então a relação fica equivalente a
L=\frac{L_0}{\gamma}.
Explicação didática: a contração só ocorre na direção do movimento; componentes perpendiculares ao movimento não se contraem. O motivo físico tem a ver com como eventos simultâneos em um referencial não são simultâneos em outro; mas, para resolver provas, basta saber e aplicar a fórmula acima com atenção ao que é comprimento próprio L_0 e o que é comprimento medido L.

Passo 3

Calculemos a quantidade comum necessária: \sqrt{1-v^2/c^2} para v=0,91\,c.
Primeiro
\left(\frac{v}{c}\right)^2 = (0{,}91)^2 = 0{,}8281.
Então
1-\frac{v^2}{c^2}=1-0{,}8281=0{,}1719.
Agora a raiz:
\sqrt{0{,}1719}\approx 0{,}41460825\\ (\text{valor numérico obtido por aproximação}).éçã
Vou usar \sqrt{1-v^2/c^2}\approx 0{,}414608 nas contas a seguir (mantendo precisão suficiente para uma prova).

Passo 4

Resolvendo o item (a). Aqui o médico dentro da nave mediu L_0=2{,}00\\ \mathrm{m} (essa é a medida própria porque o astronauta está em repouso relativo ao médico e ao interior da nave, e o comprimento está ao longo da direção do movimento).
Usamos
L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.
Substituindo os números:
L = 2{,}00\\ \mathrm{m}\times 0{,}414608\approx 0{,}829216\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos) obtemos
L\approx 0{,}829\\ \mathrm{m}.
Interpretação curta: para quem está na Terra, o astronauta deitado (paralelo ao movimento) parece bem mais baixo devido à contração longitudinal.

Passo 5

Resolvendo o item (b). Agora o dado é diferente: o observador na Terra mede L=2{,}00\\ \mathrm{m}. Queremos a altura medida pelo médico na nave, isto é o comprimento próprio L_0 (porque o astronauta está em repouso na nave).
Da relação
L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},
isolamos L_0:
L_0=\frac{L}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.
Substituindo:
L_0=\frac{2{,}00\\ \mathrm{m}}{0{,}414608}\approx 4{,}82398\\ \mathrm{m}.
Arredondando para 3 algarismos significativos:
L_0\approx 4{,}82\\ \mathrm{m}.
Comentário sobre se é razoável: não, não é razoável para um humano. Isso significa que, se um observador na Terra realmente medisse a altura do astronauta deitado como 2{,}00\\ \mathrm{m}, então no referencial da nave esse mesmo astronauta teria comprimento próprio de cerca de 4{,}82\\ \mathrm{m}, o que é fisicamente incompatível com o tamanho real de um ser humano. Em outras palavras, isso indicaria que os dados são inconsistentes com a ideia de que um humano normal tem altura ~ 2{,}00\\ \mathrm{m} no próprio referencial — ou seja, a situação hipotética do enunciado para (b) levaria a uma conclusão absurda para um humano.

Passo 6

Explicação física curta para reforçar: comprimento medido por um observador que vê o corpo em movimento é menor do que o comprimento próprio quando a medição é ao longo da direção do movimento. Se um observador em Terra mede 2{,}00\\ \mathrm{m} ao ver o corpo em movimento, então o comprimento próprio (medido no repouso do corpo) tem de ser maior; não é possível obter um comprimento próprio menor do que a medida feita num referencial onde o corpo está se movendo (a fórmula deixa isso claro). Portanto o resultado do item (b) era de esperar se um dado for fixo no referencial terrestre — mas fisicamente, escolher qual medida é a “real” depende de qual referencial é o do objeto (o próprio).

Passo 7

Resolvendo o item (c). Agora o astronauta se coloca em pé, de modo que seu corpo está perpendicular à direção do movimento. Importante: a contração relativística afeta apenas comprimentos na direção do movimento. Componentes perpendiculares ao movimento não sofrem contração. Consequentemente:
  • No referencial da nave (médico): o comprimento próprio do astronauta na vertical continua sendo aquilo que o médico mede em repouso — que, no caso do item (a), era 2{,}00\\ \mathrm{m}. Então o médico mede
\text{Altura (médico)}=2{,}00\\ \mathrm{m}.é
  • No referencial da Terra (observador): como a altura agora é perpendicular à direção do movimento, o observador na Terra mede a mesma distância perpendicular, isto é não há contração. Logo
\text{Altura (Terra)}=2{,}00\\ \mathrm{m}.
Breve justificativa técnica: a transformação de Lorentz mantém as dimensões transversais inalteradas; somente a componente paralela é multiplicada por \sqrt{1-v^2/c^2}.

Passo 8

Recapitulando os resultados numéricos e o comentário sobre razoabilidade. Valores com unidades e arredondados de forma usual.

Resposta

(a) 0{,}829\\ \mathrm{m}
(b) 4{,}82\\ \mathrm{m}; não, essa altura não seria razoável para um humano.
(c) médico: 2{,}00\\ \mathrm{m}; observador na Terra: 2{,}00\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados