Considere que a Terra seja uma superposição de camadas esféricas. Estabeleça que a superfície terrestre seja a primeira destas camadas. Encontre a expressão para a força gravitacional que esta casca esférica exerce em uma partícula em seu interior.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a expressão para a força gravitacional que a casca esférica que representa a superfície terrestre exerce em uma partícula em seu interior.”\n
Informações relevantes dadas (ou assumidas):\n
  • Temos uma casca esférica fina e uniforme de raio \,R.\n
  • Há uma partícula de massa \,m localizada no interior dessa casca, a uma distância \,r do centro, com 0\le r<R.\n
  • Devemos obter a expressão da força gravitacional que a casca exerce sobre a partícula.\n
    Observação: não há dados numéricos; o objetivo é uma expressão geral em termos de G,\,R,\,r,\,m e, se necessário, a densidade superficial da casca.

Passo 2

Relembrando a lei fundamental que vamos usar: a Lei da Gravitação Universal de Newton. Ela diz que a força de atração entre duas massas puntiformes m_1 e m_2 separadas por distância s tem módulo
F = G\frac{m_1 m_2}{s^2},
onde G é a constante gravitacional. No nosso caso a casca não é puntiforme, então vamos somar (integrar) as contribuições de cada elemento de massa da casca.

Passo 3

Estratégia de cálculo (sem resolver ainda): por simetria escolhemos o eixo \,z passando pelo centro da casca e pelo ponto onde a partícula está. Cada elemento de massa na casca atrai a partícula; por simetria, as componentes de força perpendiculares ao eixo z se cancelam, sobrando apenas a componente ao longo do eixo. Portanto basta calcular a soma (integral) das componentes axiais das contribuições dos elementos de massa da casca.

Passo 4

Geometria e parametrização: considere um elemento de área da casca localizado no ângulo polar \,\theta (medido a partir do eixo que vai do centro ao ponto). A casca tem raio \,R. A partícula está no ponto a distância \,r do centro, sobre o eixo \,z.\n
Distância entre o elemento e a partícula:
s(\theta)=\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta}.
Área do anel formado pelos pontos com ângulo polar entre \theta e \theta+d\theta é \,dA = 2\pi R^2\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Massa do elemento (assumindo densidade superficial uniforme \sigma): dm=\sigma\,dA=\sigma\,2\pi R^2\sin\theta\,d\theta.
Se preferir, podemos expressar \sigma em termos da massa total da casca M: \sigma = \dfrac{M}{4\pi R^2}. Vamos manter \sigma por enquanto e substituir M no final, se necessário.

Passo 6

Contribuição de força de um elemento: o módulo da força entre o elemento dm e a partícula m é
dF = G\,\frac{m\,dm}{s^2(\theta)}.
Só a componente ao longo do eixo importa; o cosseno do ângulo entre a linha que liga o elemento ao ponto e o eixo é
\cos\alpha = \frac{R\cos\theta - r}{s(\theta)}.
Portanto a componente axial (positiva no sentido do centro) que esse elemento exerce sobre m é
dF_z = dF \cdot \cos\alpha = G\,\frac{m\,dm}{s^2(\theta)}\cdot\frac{R\cos\theta - r}{s(\theta)} = G\,m\,dm\;\frac{R\cos\theta - r}{s^{3}(\theta)}.

Passo 7

Substituímos dm e escrevemos a integral total (integrando \theta de 0 a \pi):
F_z = \int_{0}^{\pi} G\,m\;\sigma\,2\pi R^2\sin\theta\;\frac{R\cos\theta - r}{\big(R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta\big)^{3/2}}\,d\theta.
Colocando constantes para fora:
F_z = G\,m\,\sigma\,2\pi R^2 \int_{0}^{\pi} \sin\theta\;\frac{R\cos\theta - r}{\big(R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta\big)^{3/2}}\,d\theta.

Passo 8

Mudança de variável para simplificar a integral: use u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta varia de 0 a \pi, u varia de 1 a -1. A integral vira
F_z = G\,m\,\sigma\,2\pi R^2 \int_{u=1}^{u=-1} -(R u - r)\,\frac{1}{\big(R^{2}+r^{2}-2Rr u\big)^{3/2}}\,du.
Invertendo os limites:
F_z = G\,m\,\sigma\,2\pi R^2 \int_{-1}^{1} \frac{R u - r}{\big(R^{2}+r^{2}-2Rr u\big)^{3/2}}\,du.

Passo 9

Para calcular a integral, faça a substituição auxiliar t=R^{2}+r^{2}-2Rr u. Então dt=-2Rr\,du, ou du=-\dfrac{dt}{2Rr}. Expressando R u - r em função de t:
R u - r=\frac{R^{2}-r^{2}-t}{2r}.
Substituindo tudo, a integral em u transforma-se numa integral em t. Depois de simplificar (mostro os passos essenciais abaixo), um antiderivado conveniente é
\mathcal{A}(t)=\frac{1}{2Rr^{2}}\Big((R^{2}-r^{2})\,t^{-1/2}+t^{1/2}\Big).
Portanto
\int_{-1}^{1}\frac{R u - r}{\big(R^{2}+r^{2}-2Rr u\big)^{3/2}}\,du = \mathcal{A}\big(t(u)\big)\Big|_{u=-1}^{u=1}.

Passo 10

Avaliação nas extremidades: para u=1 temos t=(R-r)^{2} e para u=-1 temos t=(R+r)^{2}. Calcule a diferença:
\mathcal{A}\big((R-r)^{2}\big)-\mathcal{A}\big((R+r)^{2}\big) =\frac{1}{2Rr^{2}}\Big((R^{2}-r^{2})\big(\tfrac{1}{R-r}-\tfrac{1}{R+r}\big)+\big((R-r)-(R+r)\big)\Big).
Simplificando termo a termo:
(R^{2}-r^{2})\Big(\tfrac{1}{R-r}-\tfrac{1}{R+r}\Big)=2r,
e
(R-r)-(R+r)=-2r.
Somando os dois resultados obtemos 2r-2r=0. Logo a integral vale 0.

Passo 11

Voltando à expressão para F_z: como a integral vale 0, segue que
F_z = G\,m\,\sigma\,2\pi R^2 \cdot 0 = 0.
Isto significa que a soma (integração) das forças axiais de todos os elementos da casca se anula: não há força resultante sobre a partícula situada no interior da casca. Em palavras simples: uma casca esférica uniforme não atrai nada que esteja em seu interior — a força gravitacional resultante é nula.

Passo 12

Interpretação física e alternativa curta: este resultado é o famoso “teorema da casca esférica” (shell theorem). Uma demonstração mais curta e elegante usa a lei de Gauss para o campo gravitacional (analogia com eletricidade) ou argumentos conformes de simetria, mas o cálculo por integração acima mostra explicitamente como as contribuições se cancelam. Intuitivamente, áreas mais próximas atraem mais, mas há menos massa efetiva projetada naquela direção, e essas duas tendências se anulam perfeitamente.

Resposta

\vec{F}=\vec{0}

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