Um rio de 20 m de largura e 4,0 \mathrm{~m} de profundidade drena uma área de 3000 \mathrm{~km}^{2} com uma precipitação média de 48 \mathrm{~cm} / ano. Um quarto da chuva retorna à atmosfera por evaporação, mas o restante vai para o rio. Qual é a velocidade média da correnteza do rio?

Passo 1

O que o enunciado dá (dados conhecidos):
\text{largura do rio} = 20\\ \mathrm{m}
\text{profundidade do rio} = 4,0\\ \mathrm{m}
\text{área drenada} = 3000\\ \mathrm{km}^2á
\text{precipitação média} = 48\\ \mathrm{cm/ano}çãé
\text{fração que evapora} = \tfrac{1}{4}çã
O que o enunciado pede:
\text{velocidade média da correnteza (m/s)}é

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do rio (essa área é a que transporta a água, largura vezes profundidade). A fórmula é
A = \text{largura}\times\text{profundidade}.
Substituindo os valores:
A = 20\cdot 4,0 = 80\\ \mathrm{m}^2.
Explicação: a seção transversal é um retângulo de base igual à largura e altura igual à profundidade; a água que passa por esse retângulo por segundo é o que determina o escoamento.

Passo 3

Converter a área drenada de \mathrm{km}^2 para \mathrm{m}^2. Lembrando que 1\\ \mathrm{km}^2=(1000\\ \mathrm{m})^2=10^6\\ \mathrm{m}^2. Portanto
\text{área drenada} = 3000\cdot 10^6 = 3{,}0\cdot 10^9\\ \mathrm{m}^2.á

Passo 4

Converter a precipitação de \mathrm{cm/ano} para \mathrm{m/ano} e calcular o volume anual de água que vai para o rio. Primeiro:
48\\ \mathrm{cm/ano}=0,48\\ \mathrm{m/ano}.
Como \tfrac{1}{4} evapora, a fração que atinge o rio é \tfrac{3}{4}. O volume anual que chega ao rio é
V_{\text{ano}} = \text{área drenada}\times\text{precipitação (m/ano)}\times\frac{3}{4}.áçã
Substituindo:
V_{\text{ano}} = 3{,}0\cdot 10^9\cdot 0,48\cdot \tfrac{3}{4}.
Calcule passo a passo: 3{,}0\cdot 10^9\cdot 0,48 = 1{,}44\cdot 10^9 e multiplicando por \tfrac{3}{4}=0{,}75
V_{\text{ano}} = 1{,}08\cdot 10^9\\ \mathrm{m}^3\\ \text{por ano}.
Comentário: esse é o volume total, por ano, que chega ao rio vindo da chuva sobre a bacia, já descontada a evaporação.

Passo 5

Converter o volume anual em vazão média (débito) em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Para isso precisamos do número de segundos por ano:
1\\ \text{ano} = 365\\ \text{dias}\times 24\\ \text{h/dia}\times 3600\\ \text{s/h} = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
A vazão média é
Q = \frac{V_{\text{ano}}}{\text{segundos por ano}} = \frac{1{,}08\cdot 10^9}{31\,536\,000}.
Fazendo a divisão:
Q \approx 34{,}3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Usar a equação de continuidade (vazão = área da seção transversal × velocidade média) para achar a velocidade média. A equação é
Q = A\cdot v \quad\Rightarrow\quad v=\frac{Q}{A}.
Substituindo Q e A:
v=\frac{34{,}3}{80}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo a divisão:
v\approx 0{,}429\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas significativas (consistentes com os dados dados):
v\approx 0{,}43\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza: uma vazão de \sim 34\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} em uma seção de 80\\ \mathrm{m}^2 dá uma velocidade menor que 1\\ \mathrm{m/s}, o que é plausível para um rio de porte médio. Respire fundo — está tudo coerente!

Resposta

0{,}43\\ \mathrm{m/s}

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