5.14 Uma folha de cobre, com espessura 2 L=2 \mathrm{~mm}, tem uma temperatura inicial de T_{i}=118^{\circ} \mathrm{C}. Ela é subitamente imersa em água líquida, resultando em ebulição em suas duas superfícies. Para a ebulição, a lei do resfriamento de Newton é representada na forma q^{\prime \prime}=h\left(T_{s}-T_{\text {sat }}\right), na qual T_{s} é a temperatura da superfície do sólido e T_{\text {sat }} é a temperatura de saturação do fluido (neste caso T_{\text {sat }}=100^{\circ} \mathrm{C} ). O coeficiente de transferência de calor pode ser avaliado por h=1010 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}^{3}\right)\left(T-T_{\text {sat }}\right)^{2}. Determine o tempo necessário para a folha atingir uma temperatura de T=102^{\circ} \mathrm{C}. Represente graficamente a temperatura do cobre versus o tempo para 0 \leq t \leq 0,5 \mathrm{~s}. No mesmo gráfico, represente o histórico da temperatura do cobre supondo que o coeficiente de transferência de calor seja constante, calculado na temperatura média do cobre \bar{T}=110^{\circ} \mathrm{C}. Suponha comportamento de capacitância global.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os números que vamos usar (peguei os dados do enunciado).
  • Dados do enunciado:
    • Espessura: 2L=2\\ \mathrm{mm}. Logo L=1\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial do cobre: T_i=118^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de saturação da água: T_{\text{sat}}=100^\circ\mathrm{C}.
    • Lei do coeficiente de convecção (ebulição): h=1010\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^3)}\,(T-T_{\text{sat}})^2.
    • Suponha comportamento de capacitância global (modelo lumped).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar o tempo necessário para a folha atingir T=102^\circ\mathrm{C}.
    2. Representar graficamente T do cobre versus t para 0\le t\le 0{,}5\\ \mathrm{s}.
    3. No mesmo gráfico, traçar o histórico supondo h constante, calculado na temperatura média \bar{T}=110^\circ\mathrm{C}.
  • Valores de propriedades do cobre (valores típicos que usarei):
    • Densidade: \rho=8930\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Calor específico: c=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
A partir daqui começo a resolver.

Passo 2

Modelo físico e balanço de energia (explicando passo a passo).
  • No modelo de capacitância global (lumped), assume-se que a temperatura do sólido é uniforme no tempo: T(t) é a temperatura única do sólido.
  • Balanço de energia: a taxa de variação da energia interna do sólido é igual à potência de calor perdida pelas duas superfícies (duas faces da placa):
    m c \frac{dT}{dt} = -\dot{Q},
    onde \dot{Q} é a potência total removida por convecção nas duas faces.
  • Geometria: seja A a área de uma face. A área total de transferência é 2A (duas faces). A massa é m=\rho (2L A)=2\rho L A.
  • A potência removida é \dot{Q}=2A\,h\,(T-T_{\text{sat}}) porque q''=h(T_s-T_{\text{sat}}) e T_s=T (lumped).
  • Substituindo no balanço:
    2\rho L A\, c \frac{dT}{dt} = -2A\,h\,(T-T_{\text{sat}}).
    Podemos simplificar 2A dos dois lados, resultando em
    \rho L c \frac{dT}{dt} = -h\,(T-T_{\text{sat}}).
Observação didática curta: a vantagem dessa simplificação é que a equação não depende da área A; apenas a espessura L e propriedades materiais aparecem.

Passo 3

Substituir a expressão de h que depende de T.
  • Foi dado h=1010\,(T-T_{\text{sat}})^2 (unidades compatíveis).
  • Substituindo na equação: \rho L c \frac{dT}{dt} = -1010\,(T-T_{\text{sat}})^3.
  • Reorganizando para isolar as variáveis: \frac{dT}{(T-T_{\text{sat}})^3} = -\frac{1010}{\rho L c}\,dt.
Isto é uma equação diferencial ordinária separável. Vou agora integrar.

Passo 4

Integral e solução implícita para o tempo.
  • Integral do lado esquerdo:
    \int \frac{dT}{(T-T_{\text{sat}})^3} = \int -(1/2)\,d\big((T-T_{\text{sat}})^{-2}\big) = -\frac{1}{2}(T-T_{\text{sat}})^{-2} + C.
    (Explicando: derivada de (T-T_{\text{sat}})^{-2} é -2(T-T_{\text{sat}})^{-3}.)
  • Integrando entre t=0 (onde T=T_i) e t (onde T qualquer), obtemos
    -\frac{1}{2}\Big[(T-T_{\text{sat}})^{-2}-(T_i-T_{\text{sat}})^{-2}\Big] = -\frac{1010}{\rho L c}\,t.
    Multiplicando por -1 e isolando t:
    t = \frac{1}{2}\,\frac{1}{1010/(\rho L c)}\Big[(T-T_{\text{sat}})^{-2}-(T_i-T_{\text{sat}})^{-2}\Big].
    Simplificando a fração:
    t = \frac{\rho L c}{2\cdot 1010}\Big[(T-T_{\text{sat}})^{-2}-(T_i-T_{\text{sat}})^{-2}\Big].
Este é o resultado geral para o tempo necessário para ir de T_i até T com o h dado.

Passo 5

Calcular constantes numéricas e o tempo pedido.
  • Primeiro calcule o denominador \rho L c:
    \rho L c = 8930\cdot 0{,}001\cdot 385 = 3438{,}05\quad(\text{unidades } \mathrm{J/(m^2\cdot K)}).
  • Defina a constante
    k=\frac{1010}{\rho L c}=\frac{1010}{3438{,}05}\approx 0{,}2939\quad(\mathrm{(K^2\cdot s)^{-1}}).
    (Uso k como atalho numérico; recorde que na integração apareceu 1010/(\rho L c).)
  • A fórmula mais compacta que usaremos é
    (T-T_{\text{sat}})^{-2}=(T_i-T_{\text{sat}})^{-2}+2k t,
    obtida reescrevendo a integral para achar T(t). Para o tempo necessário para atingir um T dado:
    t=\frac{1}{2k}\Big[(T-T_{\text{sat}})^{-2}-(T_i-T_{\text{sat}})^{-2}\Big].
  • Agora substituímos números para T_i=118^\circ\mathrm{C}, T=102^\circ\mathrm{C}, T_{\text{sat}}=100^\circ\mathrm{C}:
    T_i-T_{\text{sat}}=18\\ \mathrm{K},\qquad T-T_{\text{sat}}=2\\ \mathrm{K}.
(18)^{-2}=\frac{1}{324}\approx 0{,}00308642,\qquad (2)^{-2}=\frac{1}{4}=0{,}25.
2k \approx 0{,}587764.
t=\frac{1}{2k}\big(0{,}25-0{,}00308642\big)=\frac{0{,}24691358}{0{,}587764}\approx 0{,}420\\ \mathrm{s}.
  • Portanto, o tempo requerido é aproximadamente t\approx0{,}42\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Expressão explícita T(t) para traçar o gráfico (caso não se queria apenas tabelar).
A forma inversa que dá a curva T(t) no modelo com h(T) é:
(T-T_{\text{sat}})=\left[(T_i-T_{\text{sat}})^{-2}+2k t\right]^{-1/2},
ou seja
T(t)=T_{\text{sat}}+\left[(T_i-T_{\text{sat}})^{-2}+2k t\right]^{-1/2}.
Com os números:
T(t)=100^\circ\mathrm{C}+\left[0{,}00308642+0{,}587764\,t\right]^{-1/2}.
Isto é a curva que deve ser plotada para 0\le t\le 0{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Modelo com h constante avaliado em \bar{T}=110^\circ\mathrm{C} (para comparação) — solução passo a passo.
  • Calcule h_{\text{const}}=1010\,( \bar{T}-T_{\text{sat}} )^2 com \bar{T}-T_{\text{sat}}=10\\ \mathrm{K}: h_{\text{const}}=1010\cdot 10^2=1010\cdot 100=101000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Para h constante, a EDO linear é \rho L c\frac{dT}{dt} = -h_{\text{const}}(T-T_{\text{sat}}),cuja solução é T(t)-T_{\text{sat}}=(T_i-T_{\text{sat}})\exp\Big(-\frac{h_{\text{const}}}{\rho L c}\,t\Big).
  • Calcule o coeficiente exponencial: \frac{h_{\text{const}}}{\rho L c}=\frac{101000}{3438{,}05}\approx 29{,}40\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Logo T(t)=100^\circ\mathrm{C}+18\exp(-29{,}40\,t).
  • Tempo para atingir T=102^\circ\mathrm{C} neste modelo: 2=18\exp(-29{,}40\,t)\quad\Rightarrow\quad \exp(-29{,}40\,t)=\frac{1}{9},
t=\frac{\ln 9}{29{,}40}\approx\frac{2{,}1972246}{29{,}40}\approx 0{,}075\\ \mathrm{s}.
Observação: o modelo com h constante prevê resfriamento muito mais rápido porque toma um h grande (avaliado a 110^\circ\mathrm{C}), enquanto no modelo não linear h diminui muito à medida que T\to T_{\text{sat}}.

Passo 8

Pontos numéricos para plotar ambas as curvas entre t=0 e t=0{,}5\\ \mathrm{s}. (Estes pontos podem ser usados para traçar o gráfico pedido.)
Tabela de T(t) (modelo não linear h(T)):
  • t=0: T=118{,}000^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}05\\ \mathrm{s}: T\approx105{,}552^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}10\\ \mathrm{s}: T\approx104{,}019^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}20\\ \mathrm{s}: T\approx102{,}879^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}30\\ \mathrm{s}: T\approx102{,}361^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}40\\ \mathrm{s}: T\approx102{,}049^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}42\\ \mathrm{s}: T\approx102{,}000^\circ\mathrm{C} (valor calculado para o objetivo)
  • t=0{,}50\\ \mathrm{s}: T\approx101{,}839^\circ\mathrm{C}
Tabela de T(t) (modelo com h=h_{\text{const}} em \bar{T}=110^\circ\mathrm{C}):
  • t=0: T=118{,}000^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}05\\ \mathrm{s}: T\approx104{,}135^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}075\\ \mathrm{s}: T\approx101{,}98^\circ\mathrm{C} (chega a 102^\circ\mathrm{C} aqui)
  • t=0{,}10\\ \mathrm{s}: T\approx100{,}951^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}20\\ \mathrm{s}: T\approx100{,}050^\circ\mathrm{C}
  • t=0{,}50\\ \mathrm{s}: T\approx100{,}000^\circ\mathrm{C} (praticamente T_{\text{sat}})
Instrução prática para o gráfico: usar os dois conjuntos de pontos acima ou as expressões fechadas
T_{\text{nonlin}}(t)=100+\big[0{,}00308642+0{,}587764\,t\big]^{-1/2}
e
T_{\text{const}}(t)=100+18\exp(-29{,}40\,t)
para traçar as duas curvas no mesmo gráfico em 0\le t\le 0{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Comentário didático final e validade da hipótese de capacitância global.
  • O enunciado pediu explicitamente para supor comportamento de capacitância global; então a solução acima está consistente com essa hipótese.
  • Nota prática: na realidade, para ebulição os coeficientes h podem ser muito grandes e a condutividade do cobre também é grande; a hipótese lumped pode ser razoável ou não dependendo do Biot number real. O Biot típico seria \mathrm{Bi}\sim h_{\text{média}}L/k_{\text{cond}}é. Aqui h pode ser muito grande, então a hipótese pode ser questionável — mas como o problema exigiu a hipótese, seguimos com ela.
  • Força motivacional: você já tem a fórmula fechada para T(t), você pode agora plotar rápido no Excel, Python ou na sua calculadora usando os pontos que dei. Vai dar para comparar as curvas e ver como o comportamento não linear altera bastante o tempo (0,42 s vs 0,075 s).

Resposta

t_{\text{(com }h(T)\text{)}}\approx 0{,}420\\ \mathrm{s}
t_{\text{(com }h\text{ constante em }\bar{T}=110^\circ\mathrm{C}\text{)}}\approx 0{,}075\\ \mathrm{s}

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