5.14 Uma folha de cobre, com espessura
, tem uma temperatura inicial de
. Ela é subitamente imersa em água líquida, resultando em ebulição em suas duas superfícies. Para a ebulição, a lei do resfriamento de Newton é representada na forma
, na qual
é a temperatura da superfície do sólido e
é a temperatura de saturação do fluido (neste caso
). O coeficiente de transferência de calor pode ser avaliado por
. Determine o tempo necessário para a folha atingir uma temperatura de
. Represente graficamente a temperatura do cobre versus o tempo para
. No mesmo gráfico, represente o histórico da temperatura do cobre supondo que o coeficiente de transferência de calor seja constante, calculado na temperatura média do cobre
. Suponha comportamento de capacitância global.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os números que vamos usar (peguei os dados do enunciado).
-
Dados do enunciado:
- Espessura:
. Logo . - Temperatura inicial do cobre:
. - Temperatura de saturação da água:
. - Lei do coeficiente de convecção (ebulição):
. - Suponha comportamento de capacitância global (modelo lumped).
- Espessura:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo necessário para a folha atingir
. - Representar graficamente
do cobre versus para . - No mesmo gráfico, traçar o histórico supondo
constante, calculado na temperatura média .
- Determinar o tempo necessário para a folha atingir
-
Valores de propriedades do cobre (valores típicos que usarei):
- Densidade:
. - Calor específico:
.
- Densidade:
A partir daqui começo a resolver.
Passo 2
Modelo físico e balanço de energia (explicando passo a passo).
-
No modelo de capacitância global (lumped), assume-se que a temperatura do sólido é uniforme no tempo:
é a temperatura única do sólido. -
Balanço de energia: a taxa de variação da energia interna do sólido é igual à potência de calor perdida pelas duas superfícies (duas faces da placa):onde
é a potência total removida por convecção nas duas faces. -
Geometria: seja
a área de uma face. A área total de transferência é (duas faces). A massa é . -
A potência removida é
porque e (lumped). -
Substituindo no balanço:Podemos simplificar
dos dois lados, resultando em
Observação didática curta: a vantagem dessa simplificação é que a equação não depende da área
; apenas a espessura
e propriedades materiais aparecem.
Passo 3
Substituir a expressão de
que depende de
.
- Foi dado
(unidades compatíveis). - Substituindo na equação:
- Reorganizando para isolar as variáveis:
Isto é uma equação diferencial ordinária separável. Vou agora integrar.
Passo 4
Integral e solução implícita para o tempo.
-
Integral do lado esquerdo:(Explicando: derivada de
é .) -
Integrando entre
(onde ) e (onde qualquer), obtemos Multiplicando pore isolando : Simplificando a fração:
Este é o resultado geral para o tempo necessário para ir de
até
com o
dado.
Passo 5
Calcular constantes numéricas e o tempo pedido.
-
Primeiro calcule o denominador
: -
Defina a constante(Uso
como atalho numérico; recorde que na integração apareceu .) -
A fórmula mais compacta que usaremos éobtida reescrevendo a integral para achar
. Para o tempo necessário para atingir um dado: -
Agora substituímos números para
, , :
- Portanto, o tempo requerido é aproximadamente
.
Passo 6
Expressão explícita
para traçar o gráfico (caso não se queria apenas tabelar).
A forma inversa que dá a curva
no modelo com
é:
ou seja
Com os números:
Isto é a curva que deve ser plotada para
.
Passo 7
Modelo com
constante avaliado em
(para comparação) — solução passo a passo.
- Calcule
com : - Para
constante, a EDO linear é cuja solução é - Calcule o coeficiente exponencial:
- Logo
- Tempo para atingir
neste modelo:
Observação: o modelo com
constante prevê resfriamento muito mais rápido porque toma um
grande (avaliado a
), enquanto no modelo não linear
diminui muito à medida que
.
Passo 8
Pontos numéricos para plotar ambas as curvas entre
e
. (Estes pontos podem ser usados para traçar o gráfico pedido.)
Tabela de
(modelo não linear
):
-
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: (valor calculado para o objetivo) -
:
Tabela de
(modelo com
em
):
-
: -
: -
: (chega a aqui) -
: -
: -
: (praticamente )
Instrução prática para o gráfico: usar os dois conjuntos de pontos acima ou as expressões fechadas
e
para traçar as duas curvas no mesmo gráfico em
.
Passo 9
Comentário didático final e validade da hipótese de capacitância global.
- O enunciado pediu explicitamente para supor comportamento de capacitância global; então a solução acima está consistente com essa hipótese.
- Nota prática: na realidade, para ebulição os coeficientes
podem ser muito grandes e a condutividade do cobre também é grande; a hipótese lumped pode ser razoável ou não dependendo do Biot number real. O Biot típico seria . Aqui pode ser muito grande, então a hipótese pode ser questionável — mas como o problema exigiu a hipótese, seguimos com ela. - Força motivacional: você já tem a fórmula fechada para
, você pode agora plotar rápido no Excel, Python ou na sua calculadora usando os pontos que dei. Vai dar para comparar as curvas e ver como o comportamento não linear altera bastante o tempo (0,42 s vs 0,075 s).