QUESTÃO 1 (2,0 pontos): A equação A=\frac{(B) \cdot\text{(C)}^{4} \cdot(D)}{(E) \cdot(F)}+D \cdot G \cdot H, é dimensionalmente homogênea. Se A representa vazão mássica, B é pressão, C é comprimento, E é viscosidade (absoluta ou dinâmica), F é comprimento e H é área, as unidades de D e G no Sistema Internacional (SI), respectivamente, são?

Passo 1

O enunciado dá a equação
A=\frac{(B)\cdot\text{(C)}^{4}\cdot(D)}{(E)\cdot(F)}+D\cdot G\cdot H,
e pede as unidades de D e G no Sistema Internacional (SI). As informações fornecidas (pego do enunciado) são:
  • A é vazão mássica (unidades no SI: \mathrm{kg\,s^{-1}});
  • B é pressão (unidades no SI: \mathrm{Pa}=\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-2}});
  • C é comprimento (unidades: \mathrm{m});
  • E é viscosidade dinâmica (unidades no SI: \mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}});
  • F é comprimento (unidades: \mathrm{m});
  • H é área (unidades: \mathrm{m^{2}}).
    O objetivo: determinar as unidades de D e G de modo que a equação seja dimensionalmente homogênea (ambos os termos do lado direito têm as mesmas dimensões de A).

Passo 2

Lembra: em análise dimensional usamos as dimensões básicas massa, comprimento e tempo, denotadas por M, L e T. Vou escrever cada quantidade em termos dessas potências:
  • [A]=M\,T^{-1} (vazão mássica: \mathrm{kg\,s^{-1}});
  • [B]=M\,L^{-1}\,T^{-2} (pressão);
  • [C]=L;
  • [E]=M\,L^{-1}\,T^{-1} (viscosidade dinâmica);
  • [F]=L;
  • [H]=L^{2}.
    Agora represento as dimensões desconhecidas como potências:
[D]=M^{a}L^{b}T^{c},\qquad [G]=M^{p}L^{q}T^{r},
onde a,b,c,p,q,r são expoentes a determinar.

Passo 3

Calculo a dimensão do primeiro termo \dfrac{B\,C^{4}\,D}{E\,F}. Multiplicando e dividindo potências, somam-se ou subtraem-se expoentes:
[B]\,[C]^{4}\,[D]=(M\,L^{-1}\,T^{-2})\cdot L^{4}\cdot M^{a}L^{b}T^{c}=M^{1+a}L^{3+b}T^{-2+c}.
[E]\,[F]=(M\,L^{-1}\,T^{-1})\cdot L^{1}=M^{1}L^{0}T^{-1}.
Dividindo numerador por denominador:
\frac{[B][C]^{4}[D]}{[E][F]}=M^{(1+a)-1}L^{(3+b)-0}T^{(-2+c)-(-1)}=M^{a}L^{3+b}T^{-1+c}.

Passo 4

Dimensionalidade exige que o resultado acima tenha as dimensões de A, ou seja M^{1}L^{0}T^{-1}. Igualando expoentes obtém-se o sistema:
\begin{cases} \text{massa: } & a=1,\\[4pt] \text{comprimento: } & 3+b=0 \Rightarrow b=-3,\\[4pt] \text{tempo: } & -1+c=-1 \Rightarrow c=0. \end{cases}
Portanto
[D]=M^{1}L^{-3}T^{0}=M\,L^{-3}.]

Passo 5

Interpretação e unidades no SI: M\,L^{-3} significa massa por volume, isto é densidade. Em unidades SI:
[D]=\mathrm{kg\,m^{-3}}.
Boa: saiu a unidade de D. Agora uso essa informação no segundo termo para achar G.

Passo 6

O segundo termo é D\cdot G\cdot H. Em dimensões:
[D]\,[G]\,[H]=(M^{1}L^{-3}T^{0})\cdot (M^{p}L^{q}T^{r})\cdot L^{2}=M^{1+p}L^{-3+q+2}T^{r}=M^{1+p}L^{q-1}T^{r}.
Esse produto também deve ser igual a [A]=M^{1}L^{0}T^{-1}. Igualando expoentes obtemos:
\begin{cases} \text{massa: } & 1+p=1 \Rightarrow p=0,\\[4pt] \text{comprimento: } & q-1=0 \Rightarrow q=1,\\[4pt] \text{tempo: } & r=-1. \end{cases}]

Passo 7

Assim
[G]=M^{0}L^{1}T^{-1}=L\,T^{-1}.
Em unidades SI isso é velocidade:
[G]=\mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 8

Resumo rápido de checagem (sem cálculos longos): com D em \mathrm{kg\,m^{-3}} o primeiro termo volta a \mathrm{kg\,s^{-1}} e o segundo, com G em \mathrm{m\,s^{-1}} e H em \mathrm{m^{2}}, também dá \mathrm{kg\,s^{-1}}. Tudo homogêneo — perfeito! Força final: você já achou densidade e velocidade, duas coisas bem comuns em problemas de mecânica dos fluidos; respira que conseguiu.

Resposta

D:\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
G:\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

Exercícios relacionados