QUESTÃO 4 ( \mathbf{2 , 5} pontos): 300 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de gasolina entra numa tubulação principal em “T” de 20 cm de diâmetro interno e sofre desvio para uma tubulação secundária de 15 cm de diâmetro interno, na qual sai com uma distribuição de velocidade dada por v=9\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{4}\right] \frac{m}{s} em que R é o raio interno do tubo. Após o desvio, a velocidade da gasolina na tubulação principal foi reduzida. Calcule: (a) a velocidade média e vazão do fluido na tubulação secundária; (b) a vazão e velocidade média de saída na tubulação principal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei os números do enunciado):
  • Vazão que entra na tubulação principal: Q_{\text{in}} = 300\\ \text{L/s} = 0,300\\ \text{m}^3\!/\text{s}.
  • Tubulação principal: diâmetro interno D_{\text{princ}} = 20\\ \text{cm} = 0,20\\ \text{m}. Raio R_{\text{princ}} = 0,10\\ \text{m}.
  • Tubulação secundária (desvio): diâmetro interno D_{\text{sec}} = 15\\ \text{cm} = 0,15\\ \text{m}. Raio R = 0,075\\ \text{m}.
  • Perfil de velocidade na tubulação secundária (função do raio r): v(r)=9\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{4}\right]\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
O que o problema pede:
(a) a velocidade média e a vazão do fluido na tubulação secundária;
(b) a vazão e a velocidade média de saída na tubulação principal após o desvio.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula prática):
  • A vazão volumétrica através de uma seção é a integral da velocidade sobre a área da seção:
    Q=\iint_{A} v\,\mathrm{d}A.
    Para uma tubulação circular com perfil apenas radial v(r), usamos coordenadas polares e \mathrm{d}A=2\pi r\,\mathrm{d}r. Assim
    Q = \int_{0}^{R} v(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r.
    Essa fórmula soma a contribuição de anéis concêntricos da seção: cada anel de raio r e espessura \mathrm{d}r tem área 2\pi r\,\mathrm{d}r.
  • A velocidade média na seção é a vazão dividida pela área da seção:
    V_{\text{m}}=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{\pi R^{2}}.
    Isso é uma definição: a velocidade uniforme que daria a mesma vazão.
Vamos aplicar isso ao perfil dado para achar Q_{\text{sec}} e V_{\text{m,sec}}.

Passo 3

Calcular a vazão na tubulação secundária pela integral:
Q_{\text{sec}}=\int_{0}^{R} 9\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{4}\right]2\pi r\,\mathrm{d}r.
Colocando constantes fora da integral:
Q_{\text{sec}}=18\pi\int_{0}^{R}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{4}\right]r\,\mathrm{d}r.
Agora calculamos a integral passo a passo. Separe em duas parcelas:
\int_{0}^{R} r\,\mathrm{d}r=\left[\tfrac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{R}=\tfrac{R^{2}}{2},
\int_{0}^{R} r\left(\frac{r}{R}\right)^{4}\mathrm{d}r=\int_{0}^{R}\frac{r^{5}}{R^{4}}\mathrm{d}r=\left[\frac{r^{6}}{6R^{4}}\right]_{0}^{R}=\frac{R^{6}}{6R^{4}}=\frac{R^{2}}{6}.
Subtraindo:
\int_{0}^{R}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{4}\right]r\,\mathrm{d}r=\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{6}=\frac{R^{2}}{3}.
Logo
Q_{\text{sec}}=18\pi\cdot\frac{R^{2}}{3}=6\pi R^{2}.
Agora substituímos R=0,075\\ \text{m}:
R^{2}=0,075^{2}=0,005625\\ \text{m}^{2},
Q_{\text{sec}}=6\pi\cdot 0,005625=0,03375\pi\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}.
Usando \pi\approx 3,1416:
Q_{\text{sec}}\approx 0,03375\cdot 3,1416 \approx 0,1060\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}.
Em litros por segundo: Q_{\text{sec}}\approx 106,0\\ \text{L/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade média na tubulação secundária:
V_{\text{m,sec}}=\frac{Q_{\text{sec}}}{\pi R^{2}}=\frac{6\pi R^{2}}{\pi R^{2}}=6\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
Observação rápida: o perfil tinha velocidade máxima no centro v(0)=9\\ \text{m/s} e a média deu 6\\ \text{m/s}, o que faz sentido (média menor que o máximo).

Passo 5

Agora usamos conservação de massa (vazão): a vazão que entra na tubulação principal é repartida entre a secundária e a continuação da principal. Assim
Q_{\text{princ,saida}}=Q_{\text{in}}-Q_{\text{sec}}.
Substituindo os números (tudo em \text{m}^3\!/\text{s}):
Q_{\text{princ,saida}}=0,300-0,1060=0,1940\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}.
Em litros por segundo: Q_{\text{princ,saida}}\approx 194,0\\ \text{L/s}.

Passo 6

Calcular a velocidade média de saída na tubulação principal (após o desvio). Área da seção principal:
A_{\text{princ}}=\pi R_{\text{princ}}^{2}=\pi(0,10)^{2}=\pi\cdot 0,01=0,01\pi\\ \text{m}^{2}.
Velocidade média:
V_{\text{m,princ}}=\frac{Q_{\text{princ,saida}}}{A_{\text{princ}}}=\frac{0,1940}{0,01\pi}.
Calculando numericamente:
0,01\pi\approx 0,031416\\ \text{m}^{2},
V_{\text{m,princ}}\approx\frac{0,1940}{0,031416}\approx 6,18\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.

Passo 7

Resumo rápido (sanity check): a soma das vazões confere 0,1060+0,1940\approx 0,300\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}. As velocidades médias ficam próximas (secundária 6\\ \text{m/s}, principal 6,18\\ \text{m/s}), o que é razoável dada a diferença de área e de divisão de vazão.

Resposta

(a) V_{\text{m,sec}}=6\\ \text{m/s}, \quad Q_{\text{sec}}=0,1060\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}=106,0\\ \text{L/s}
(b) Q_{\text{princ,saida}}=0,1940\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}=194,0\\ \text{L/s}, \quad V_{\text{m,princ}}=6,18\\ \text{m/s}

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