QUESTÃO 4 (
pontos):
de gasolina entra numa tubulação principal em “T” de 20 cm de diâmetro interno e sofre desvio para uma tubulação secundária de 15 cm de diâmetro interno, na qual sai com uma distribuição de velocidade dada por
em que R é o raio interno do tubo. Após o desvio, a velocidade da gasolina na tubulação principal foi reduzida. Calcule: (a) a velocidade média e vazão do fluido na tubulação secundária; (b) a vazão e velocidade média de saída na tubulação principal.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei os números do enunciado):
- Vazão que entra na tubulação principal:
. - Tubulação principal: diâmetro interno
. Raio . - Tubulação secundária (desvio): diâmetro interno
. Raio . - Perfil de velocidade na tubulação secundária (função do raio
):
O que o problema pede:
(a) a velocidade média e a vazão do fluido na tubulação secundária;
(b) a vazão e a velocidade média de saída na tubulação principal após o desvio.
(a) a velocidade média e a vazão do fluido na tubulação secundária;
(b) a vazão e a velocidade média de saída na tubulação principal após o desvio.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula prática):
-
A vazão volumétrica através de uma seção é a integral da velocidade sobre a área da seção:Para uma tubulação circular com perfil apenas radial
, usamos coordenadas polares e . Assim Essa fórmula soma a contribuição de anéis concêntricos da seção: cada anel de raioe espessura tem área . -
A velocidade média na seção é a vazão dividida pela área da seção:Isso é uma definição: a velocidade uniforme que daria a mesma vazão.
Vamos aplicar isso ao perfil dado para achar
e
.
Passo 3
Calcular a vazão na tubulação secundária pela integral:
Colocando constantes fora da integral:
Agora calculamos a integral passo a passo. Separe em duas parcelas:
Subtraindo:
Logo
Agora substituímos
:
Usando
:
Em litros por segundo:
Passo 4
Calcular a velocidade média na tubulação secundária:
Observação rápida: o perfil tinha velocidade máxima no centro
e a média deu
, o que faz sentido (média menor que o máximo).
Passo 5
Agora usamos conservação de massa (vazão): a vazão que entra na tubulação principal é repartida entre a secundária e a continuação da principal. Assim
Substituindo os números (tudo em
):
Em litros por segundo:
Passo 6
Calcular a velocidade média de saída na tubulação principal (após o desvio). Área da seção principal:
Velocidade média:
Calculando numericamente:
Passo 7
Resumo rápido (sanity check): a soma das vazões confere
. As velocidades médias ficam próximas (secundária
, principal
), o que é razoável dada a diferença de área e de divisão de vazão.
Resposta
(a)
, \quad
(b) , \quad
(b)