14 No instante t=0, um aquecedor de 400 W é colocado num pote contendo 2,0 litros de água a 10^{\circ} \mathrm{C}. Após 7 minutos coloca-se, no mesmo pote, um outro aquecedor idêntico para acelerar o aquecimento. Quanto tempo levará, a partir de \mathrm{t}=0, para que a água atinja a temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C}, supondo que apenas 80 \% da energia elétrica fornecida pelos aquecedores seja absorvida pela água? Considere o calor específico da água como \mathrm{c}_{\mathrm{a}}=4200 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Potência elétrica de cada aquecedor: P_{\text{el}}=400\\ \text{W}.
    • Apenas 80\% da energia elétrica é absorvida pela água (eficiência): \eta=0{,}80.
    • Volume de água: V=2{,}0\\ \text{L}.
    • Temperatura inicial: T_i=10^\circ\text{C}.
    • Temperatura final desejada: T_f=90^\circ\text{C}.
    • Tempo em que o segundo aquecedor é ligado: t_1=7\\ \text{min}.
    • Calor específico da água: c_a=4200\\ \text{J}/\text{kg}^\circ\text{C}.
    • Densidade da água (assumida): \rho=1{,}0\\ \text{kg}/\text{L}.
  • O que se pede:
    • Tempo total, contado a partir de t=0, necessário para a água atingir 90^\circ\text{C}, sabendo que a partir de t=7\\ \text{min} há dois aquecedores idênticos atuando.

Passo 2

Converter volume em massa (porque a fórmula de calor usa massa).
  • Como \rho=1{,}0\\ \text{kg}/\text{L}, a massa da água é
m = \rho V = 1{,}0\\ \frac{\text{kg}}{\text{L}}\cdot 2{,}0\\ \text{L} = 2{,}0\\ \text{kg}.

Passo 3

Calcular a energia térmica necessária para aumentar a temperatura da água de T_i para T_f.
  • A variação de temperatura é
\Delta T = T_f - T_i = 90^\circ\text{C}-10^\circ\text{C} = 80^\circ\text{C}.
  • A energia necessária (calor) para aquecer a massa m é dada por
Q = m \, c_a \, \Delta T,
onde:
  • Q é a energia em joules (J),
  • m é a massa em quilogramas (kg),
  • c_a é o calor específico em \text{J}/(\text{kg}^\circ\text{C}),
  • \Delta T é a variação de temperatura em ^\circ\text{C}.
  • Calculando:
Q = 2{,}0\cdot 4200\cdot 80.
Primeiro 4200\cdot 80 = 336000. Então
Q = 2{,}0\cdot 336000 = 672000\\ \text{J}.

Passo 4

Entender como a potência elétrica se traduz em energia absorvida pela água.
  • Relação básica entre potência e energia:
E = P\,t,
onde E é energia (J), P potência (W = J/s) e t tempo (s).
  • Como apenas uma fração \eta da potência elétrica vai para a água, a potência efetiva recebida pela água é
P_{\text{ef}} = \eta\,P_{\text{el}}.

Passo 5

Calcular a energia que a água recebe nos primeiros t_1=7\\ \text{min} (apenas um aquecedor em funcionamento).
  • Potência efetiva de um aquecedor:
P_{\text{ef1}} = \eta\cdot P_{\text{el}} = 0{,}80\cdot 400 = 320\\ \text{W}.
  • Converter tempo para segundos: t_1 = 7\\ \text{min} = 7\cdot 60 = 420\\ \text{s}.
  • Energia entregue nesse intervalo:
E_1 = P_{\text{ef1}}\cdot t_1 = 320\cdot 420.
Calcule: 320\cdot 420 = 320\cdot (42\cdot10) = (320\cdot42)\cdot10. 320\cdot42=13440. Logo
E_1 = 134400\\ \text{J}.

Passo 6

Verificar quanto de energia ainda falta após os primeiros 7\\ \text{min}.
  • Energia restante:
Q_{\text{rest}} = Q - E_1 = 672000 - 134400 = 537600\\ \text{J}.
  • Observação: se E_1\ge Q a água já teria atingido 90^\circ\text{C} antes de 7\\ \text{min}, mas aqui E_1<Q, então é preciso continuar aquecendo.

Passo 7

Calcular o tempo necessário depois de t=7\\ \text{min} com dois aquecedores funcionando.
  • Potência elétrica total de dois aquecedores: 2\cdot P_{\text{el}} = 800\\ \text{W}.
  • Potência efetiva absorvida pela água:
P_{\text{ef2}} = \eta\cdot 2P_{\text{el}} = 0{,}80\cdot 800 = 640\\ \text{W}.
  • Tempo necessário para entregar Q_{\text{rest}} com essa potência:
t_2 = \frac{Q_{\text{rest}}}{P_{\text{ef2}}} = \frac{537600}{640}.
  • Calcule: 537600\div 640 = 840\\ \text{s}. Converter para minutos: 840\\ \text{s} = \dfrac{840}{60}=14\\ \text{min}.

Passo 8

Juntar os intervalos para obter o tempo total a partir de t=0.
  • Tempo total:
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = 7\\ \text{min} + 14\\ \text{min}.

Resposta

21\\ \text{min}

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