18 Uma esfera metálica de massa
, calor específico
e coeficiente de dilatação linear
, tem raio
a uma temperatura
. Tal esfera é imersa em um líquido de massa
e calor específico
, que se encontra a temperatura
. Supondo que o recipiente que contém o líquido está isolado termicamente, determine o raio da esfera no momento do equilíbrio térmico.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos esses símbolos do enunciado).
- Dados fornecidos:
- massa da esfera:
, - calor específico da esfera:
, - coeficiente de dilatação linear da esfera:
, - raio inicial da esfera a
: , - massa do líquido:
, - calor específico do líquido:
, - temperatura inicial do líquido:
(com ), - o recipiente com o líquido é termicamente isolado (logo energia térmica total do sistema esfera+líquido se conserva).
- massa da esfera:
- O que se pede:
- determinar o raio da esfera no momento do equilíbrio térmico (ou seja, o raio da esfera depois que a esfera e o líquido atingirem a mesma temperatura final que chamaremos de
).
- determinar o raio da esfera no momento do equilíbrio térmico (ou seja, o raio da esfera depois que a esfera e o líquido atingirem a mesma temperatura final que chamaremos de
Passo 2
Princípio físico que vamos usar: conservação de energia térmica no sistema isolado. Explicando devagarinho:
- Num sistema termicamente isolado, o calor total trocado entre as partes é zero: o calor ganho por uma parte é igual ao calor perdido pela(s) outra(s).
- Aqui, a esfera inicialmente a
ganha calor até atingir . O líquido, inicialmente a , perde calor até . Não há outras trocas de calor com o ambiente. - A expressão para o calor trocado por uma massa
de substância que muda de temperatura é
onde
é o calor específico e
.
- Assim, o calor ganho pela esfera é
. - O calor perdido pelo líquido é
. Note que será negativo porque , o que indica perda de calor. - Conservação de energia dá:
Passo 3
Vou escrever e resolver a equação da conservação de energia passo a passo.
- Substituindo as expressões de
e em obtemos
- Agora vamos isolar
. Primeiro expandir:
- Agrupando os termos com
:
- Finalmente, isolando
, obtemos a expressão do equilíbrio térmico:
Explicação curtinha do que isso significa: é uma média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas capacidades térmicas
de cada parte. Quem tem maior
“puxa” mais a temperatura final para perto da sua temperatura inicial.
Passo 4
Agora precisamos relacionar a variação de temperatura da esfera com a variação do seu raio: lei da dilatação linear.
- Conceito: para sólidos isotrópicos e para variações de temperatura pequenas a moderadas, o aumento relativo de uma dimensão linear (por exemplo, o raio) é proporcional à variação de temperatura. A fórmula linear é
onde
-
é a variação do raio, -
é o coeficiente de dilatação linear (dado), -
é a variação de temperatura da esfera: . - Assim, o raio final fica
Observação didática: esta fórmula é uma aproximação de primeira ordem em
. Para variações pequenas de temperatura é a prática usual e o que o enunciado pretende ao dar
(coeficiente linear). Se fosse preciso uma expressão exata, teria-se
também, pois a forma funcional é linear na prática; para volumes costuma-se usar
como aproximação, mas aqui tratamos só do raio.
Passo 5
Substituir a expressão de
encontrada no Passo 3 na fórmula da dilatação do Passo 4.
- Primeiro relembrando
:
- A variação de temperatura da esfera é
- Colocando na mesma fração:
- Simplificando o numerador (os termos com
cancelam):
- Agora substituímos isso em
:
Passo 6
Interpretação final e checagens rápidas (para dar intuição e confiança na resposta):
- Se
for muito grande (o líquido tem grande capacidade térmica), então a fração aproxima-se de , e aproxima-se de , ou seja, a esfera quase atinge a temperatura inicial do líquido — faz sentido. - Se
for muito pequeno comparado a , a fração aproxima-se de e : o líquido não tem calor suficiente para aquecer muito a esfera — também faz sentido. - O sinal está correto: como
, temos e o fator de dilatação é positivo, então (a esfera expande), conforme esperado.