18 Uma esfera metálica de massa \mathrm{m}_{1}, calor específico \mathrm{c}_{1} e coeficiente de dilatação linear \alpha, tem raio \mathrm{r}_{0} a uma temperatura \mathrm{T}_{1}. Tal esfera é imersa em um líquido de massa \mathrm{m}_{2} e calor específico \mathrm{c}_{2}, que se encontra a temperatura \mathrm{T}_{2}> \mathrm{T}_{1}. Supondo que o recipiente que contém o líquido está isolado termicamente, determine o raio da esfera no momento do equilíbrio térmico.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos esses símbolos do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • massa da esfera: m_1,
    • calor específico da esfera: c_1,
    • coeficiente de dilatação linear da esfera: \alpha,
    • raio inicial da esfera a T_1: r_0,
    • massa do líquido: m_2,
    • calor específico do líquido: c_2,
    • temperatura inicial do líquido: T_2 (com T_2>T_1),
    • o recipiente com o líquido é termicamente isolado (logo energia térmica total do sistema esfera+líquido se conserva).
  • O que se pede:
    • determinar o raio da esfera no momento do equilíbrio térmico (ou seja, o raio da esfera depois que a esfera e o líquido atingirem a mesma temperatura final que chamaremos de T_{\text{eq}}).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: conservação de energia térmica no sistema isolado. Explicando devagarinho:
  • Num sistema termicamente isolado, o calor total trocado entre as partes é zero: o calor ganho por uma parte é igual ao calor perdido pela(s) outra(s).
  • Aqui, a esfera inicialmente a T_1 ganha calor até atingir T_{\text{eq}}. O líquido, inicialmente a T_2, perde calor até T_{\text{eq}}. Não há outras trocas de calor com o ambiente.
  • A expressão para o calor trocado por uma massa m de substância que muda de temperatura é
Q = m c \Delta T,
onde c é o calor específico e \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Assim, o calor ganho pela esfera é Q_1 = m_1 c_1 (T_{\text{eq}}-T_1).
  • O calor perdido pelo líquido é Q_2 = m_2 c_2 (T_{\text{eq}}-T_2). Note que T_{\text{eq}}-T_2 será negativo porque T_{\text{eq}}<T_2, o que indica perda de calor.
  • Conservação de energia dá:
Q_1 + Q_2 = 0.

Passo 3

Vou escrever e resolver a equação da conservação de energia passo a passo.
  • Substituindo as expressões de Q_1 e Q_2 em Q_1+Q_2=0 obtemos
m_1 c_1 (T_{\text{eq}}-T_1) + m_2 c_2 (T_{\text{eq}}-T_2) = 0.
  • Agora vamos isolar T_{\text{eq}}. Primeiro expandir:
m_1 c_1 T_{\text{eq}} - m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_{\text{eq}} - m_2 c_2 T_2 = 0.
  • Agrupando os termos com T_{\text{eq}}:
T_{\text{eq}}(m_1 c_1 + m_2 c_2) = m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2.
  • Finalmente, isolando T_{\text{eq}}, obtemos a expressão do equilíbrio térmico:
T_{\text{eq}} = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}.
Explicação curtinha do que isso significa: é uma média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas capacidades térmicas m c de cada parte. Quem tem maior m c “puxa” mais a temperatura final para perto da sua temperatura inicial.

Passo 4

Agora precisamos relacionar a variação de temperatura da esfera com a variação do seu raio: lei da dilatação linear.
  • Conceito: para sólidos isotrópicos e para variações de temperatura pequenas a moderadas, o aumento relativo de uma dimensão linear (por exemplo, o raio) é proporcional à variação de temperatura. A fórmula linear é
\Delta r = \alpha r_0 \Delta T,
onde
  • \Delta r = r_{\text{eq}}-r_0 é a variação do raio,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (dado),
  • \Delta T é a variação de temperatura da esfera: T_{\text{eq}}-T_1.
  • Assim, o raio final fica
r_{\text{eq}} = r_0 + \Delta r = r_0\bigl(1 + \alpha (T_{\text{eq}}-T_1)\bigr).
Observação didática: esta fórmula é uma aproximação de primeira ordem em \alpha\Delta T. Para variações pequenas de temperatura é a prática usual e o que o enunciado pretende ao dar \alpha (coeficiente linear). Se fosse preciso uma expressão exata, teria-se r_{\text{eq}}=r_0(1+\alpha\Delta T) também, pois a forma funcional é linear na prática; para volumes costuma-se usar 1+3\alpha\Delta T como aproximação, mas aqui tratamos só do raio.

Passo 5

Substituir a expressão de T_{\text{eq}} encontrada no Passo 3 na fórmula da dilatação do Passo 4.
  • Primeiro relembrando T_{\text{eq}}:
T_{\text{eq}} = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}.
  • A variação de temperatura da esfera é
T_{\text{eq}}-T_1 = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} - T_1.
  • Colocando na mesma fração:
T_{\text{eq}}-T_1 = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2 - T_1(m_1 c_1 + m_2 c_2)}{m_1 c_1 + m_2 c_2}.
  • Simplificando o numerador (os termos com m_1 c_1 T_1 cancelam):
T_{\text{eq}}-T_1 = \frac{m_2 c_2 (T_2 - T_1)}{m_1 c_1 + m_2 c_2}.
  • Agora substituímos isso em r_{\text{eq}} = r_0\bigl(1 + \alpha (T_{\text{eq}}-T_1)\bigr):
r_{\text{eq}} = r_0\left(1 + \alpha \cdot \frac{m_2 c_2 (T_2 - T_1)}{m_1 c_1 + m_2 c_2}\right).

Passo 6

Interpretação final e checagens rápidas (para dar intuição e confiança na resposta):
  • Se m_2 c_2 for muito grande (o líquido tem grande capacidade térmica), então a fração \dfrac{m_2 c_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} aproxima-se de 1, e r_{\text{eq}} aproxima-se de r_0\bigl(1+\alpha (T_2-T_1)\bigr), ou seja, a esfera quase atinge a temperatura inicial do líquido — faz sentido.
  • Se m_2 c_2 for muito pequeno comparado a m_1 c_1, a fração aproxima-se de 0 e r_{\text{eq}}\approx r_0: o líquido não tem calor suficiente para aquecer muito a esfera — também faz sentido.
  • O sinal está correto: como T_2>T_1, temos T_{\text{eq}}>T_1 e o fator de dilatação \alpha (T_{\text{eq}}-T_1) é positivo, então r_{\text{eq}}>r_0 (a esfera expande), conforme esperado.

Resposta

r_{\text{eq}} = r_0\left(1 + \alpha\,\frac{m_2 c_2 (T_2 - T_1)}{m_1 c_1 + m_2 c_2}\right)

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