Uma lâmpada incandescente de 100 W é ligada em série com uma fonte de V=100 \mathrm{~V}. Quando a lâmpada acende, a temperatura do filamento de tungstênio atinge 2520^{\circ} \mathrm{C}. Quanto vale a resistência do filamento da lâmpada quando se encontra à temperatura ambiente de 20^{\circ} \mathrm{C} ? (Coeficiente de Temperatura do Tungstênio \alpha=4,5 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ).

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (peguei todos do enunciado):
  • Potência nominal da lâmpada: P=100\\ \mathrm{W}.
  • Tensão aplicada à lâmpada: V=100\\ \mathrm{V}.
  • Temperatura do filamento quando aceso: T_{\text{quente}}=2520^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente (quando frio): T_{\text{frio}}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de temperatura do tungstênio: \alpha=4{,}5\times10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que o problema pede:
  • Determinar a resistência do filamento quando ele está à temperatura ambiente T_{\text{frio}}=20^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Primeiro vou achar a corrente que passa pela lâmpada quando ela está ligada e funcionando normalmente. A relação entre potência, tensão e corrente (para uma resistência ôhmica) é:
P=V I,
onde P é a potência, V a tensão e I a corrente. Isolando I,
I=\frac{P}{V}.
Substituindo os valores dados:
I=\frac{100}{100}=1\\ \mathrm{A}.
Ou seja, quando a lâmpada está acesa passa 1\\ \mathrm{A}.

Passo 3

A resistência do filamento na temperatura quente T_{\text{quente}} pode ser obtida pela lei de Ohm:
R_{\text{quente}}=\frac{V}{I}.
Substituindo:
R_{\text{quente}}=\frac{100}{1}=100\\ \Omega.
Portanto, no estado aquecido a resistência vale 100\\ \Omega.

Passo 4

Agora a parte de teoria sobre como a resistência varia com a temperatura (explicando como usar na prova). Para muitos metais (entre faixas de temperatura razoáveis) a resistência varia aproximadamente linearmente com a temperatura segundo a fórmula:
R(T)=R(T_0)\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr],
onde:
  • R(T) é a resistência à temperatura T,
  • R(T_0) é a resistência de referência à temperatura T_0,
  • \alpha é o coeficiente de temperatura (por unidade de grau Celsius),
  • T e T_0 são as temperaturas na mesma unidade (a variação \Delta T=T-T_0 em graus Celsius é válida aqui).
No nosso problema queremos R(T_0) com T_0=T_{\text{frio}}=20^\circ\mathrm{C}. Tomando T=T_{\text{quente}}=2520^\circ\mathrm{C} e R(T)=R_{\text{quente}}=100\\ \Omega, a fórmula se torna:
100 = R_{20}\bigl[1+\alpha\,(2520-20)\bigr],
onde escrevi R_{20} para R(T_0) em 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcule a diferença de temperatura e o fator multiplicador:
\Delta T = 2520-20 = 2500\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule \alpha\Delta T:
\alpha\Delta T = 4{,}5\times10^{-3}\times2500 = 4{,}5\times2{,}5 = 11{,}25.
Portanto o fator entre as resistências é
1+\alpha\Delta T = 1 + 11{,}25 = 12{,}25.
Isolando R_{20} na equação do Passo 4:
R_{20}=\frac{100}{12{,}25}.
Agora faço a divisão:
R_{20}\approx 8{,}163265\\ \Omega.
Arredondando de forma adequada (os dados têm duas ou três algarismos significativos), dá aproximadamente
R_{20}\approx 8{,}16\\ \Omega.

Passo 6

Breta rápida de verificação: multiplicando R_{20} pelo fator 12{,}25 deve voltar a 100\\ \Omega. De fato,
8{,}163265\times12{,}25\approx100,
o que confirma o cálculo. Conclusão física: o filamento é muito menos resistente frio do que quente — por isso a lâmpada emite corrente alta no momento do acendimento (a resistência sobe muito ao aquecer).

Resposta

R_{20}\approx 8{,}16\\ \Omega

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