9.14 Um motor de combustão interna de quatro tempos e quatro cilindros tem um diâmetro de 2,55 in (0,06 \mathrm{~m}) e um curso de 2,10 in (0,05 \mathrm{~m}). O volume morto é de 12 \% do volume do cilindro no ponto morto inferior e o eixo de manivelas roda a 3600 rpm . Os processos no interior de cada cilindro podem ser modelados como um ciclo de ar-padrão Otto com uma pressão de 14,6 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}(100,7 \mathrm{kPa}) e a uma temperatura de 100^{\circ} \mathrm{F}\left(37,8^{\circ} \mathrm{C}\right) no início da compressão. A temperatura máxima do ciclo é 5200^{\circ} \mathrm{R}\left(2615,7^{\circ} \mathrm{C}\right). Com base nesse modelo, calcule o trabalho líquido por ciclo, em Btu, e a potência desenvolvida pelo motor, em HP.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • diâmetro (bore) do cilindro: D=0,06\\ \mathrm{m} (2,55 in);
  • curso (stroke): S=0,05\\ \mathrm{m} (2,10 in);
  • volume morto (clearance) é 12\% do volume do cilindro no ponto morto inferior (BDC), ou seja V_{\text{dead}} = 0,12\,V_{\text{BDC}};
  • velocidade do virabrequim: N=3600\\ \mathrm{rpm};
  • condições no início da compressão (estado 1): pressão P_1=14,6\\ \mathrm{lbf/in^2}=100,7\\ \mathrm{kPa} e temperatura 100^\circ\mathrm{F} (dada também como 37,8^\circ\mathrm{C});
  • temperatura máxima do ciclo (pico após queima, estado 3): T_3=5200\\ \mathrm{R} (dada também como 2615,7^\circ\mathrm{C}).
O que o enunciado pede:
  • calcular o trabalho líquido por ciclo, em Btu (vou interpretar isto como o trabalho líquido por ciclo de um cilindro — isso é o usual em problemas de ciclo de motor);
  • calcular a potência desenvolvida pelo motor, em HP.
Observação/assunção usada: o ciclo é o ciclo ideal de Otto (adiabático reversível nas compressões/expansões e aquecimento/rejeição a volume constante). Vou usar propriedades do ar modelado com \gamma=1,4 e R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Resumo rápido do ciclo Otto (para entender as fórmulas que usarei) — explicação didática passo a passo:
  • Estados e processos (ordem): 1\to2 isentrópico (compressão, volume cai de V_1 para V_2), 2\to3 aquecimento a volume constante (combustão idealizada), 3\to4 isentrópico (expansão), 4\to1 rejeição de calor a volume constante.
  • Definição de razão de compressão r: r=\frac{V_1}{V_2}onde V_1 é o volume no BDC (ponto morto inferior) e V_2 o volume no TDC (ponto morto superior).
  • Para um gás ideal com capacidade calorífica constante e processos isentrópicos entre 1–2 e 3–4 vale: T_2 = T_1\,r^{\gamma-1},\qquad T_4 = T_3\,r^{1-\gamma}.Explicação: em uma compressão/expansão isentrópica de gás ideal com \gamma=C_p/C_v relaciona-se temperatura e volume por T V^{\gamma-1}= constante; substituindo V_2=V_1/r chega-se às fórmulas acima.
  • O trabalho líquido por ciclo por unidade de massa (energia líquida do ciclo Otto por kg de ar) é a diferença entre calor admitido e rejeitado: w_{\text{net}} = C_v\bigl(T_3-T_2\bigr) - C_v\bigl(T_4-T_1\bigr) = C_v\bigl(T_3 - T_2 - T_4 + T_1\bigr).Explicação das variáveis: C_v é a capacidade calorífica a volume constante do ar (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}), T_i são temperaturas absolutas (K).
  • Para obter o trabalho por ciclo por cilindro multiplicamos w_{\text{net}} pela massa de ar admitida no cilindro no início da compressão: W_{\text{ciclo}} = m\,w_{\text{net}}.A massa m vem da equação dos gases ideais no estado 1: m = \dfrac{P_1 V_1}{R_{\text{ar}} T_1}.
  • Potência do motor: em motor 4 tempos cada cilindro realiza um ciclo útil a cada duas revoluções. Assim o número de ciclos por segundo por cilindro é N/(60\cdot 2). Com n_{\text{cil}} cilindros a frequência total de ciclos por segundo é f = n_{\text{cil}}\cdot N/(60\cdot 2). Potência: \dot{W} = W_{\text{ciclo}}\cdot f.
Agora vamos aplicar tudo com números, devagar e com conta mastigada.

Passo 3

Determinar a razão de compressão r a partir da informação do volume morto:
  • O enunciado diz V_{\text{dead}} = 0,12\,V_{\text{BDC}}. Mas V_{\text{BDC}} = V_{\text{swept}} + V_{\text{dead}}. A razão de compressão é r=\frac{V_{\text{BDC}}}{V_{\text{TDC}}}=\frac{V_{\text{swept}}+V_{\text{dead}}}{V_{\text{dead}}}=\frac{V_{\text{BDC}}}{V_{\text{dead}}}.Como V_{\text{dead}}/V_{\text{BDC}}=0,12 então r=\frac{1}{0,12}=8,333333\ldotsOu seja r=8,\overline{3}. (é simples: se o volume morto é 12% do volume total no BDC então o volume total é 1/0,12 vezes o volume morto).

Passo 4

Calcular os volumes geométricos por cilindro (passo a passo, sem pular contas).
  • Volume varrido (swept volume) por cilindro: V_{\text{swept}} = \frac{\pi D^2}{4}\,S.Substituindo D=0,06\\ \mathrm{m} e S=0,05\\ \mathrm{m}: V_{\text{swept}} = \frac{\pi(0,06)^2}{4}\cdot 0,05 = \pi\cdot 0,000045 = 0,0001413716694\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume no BDC (estado 1), V_1: como V_{\text{swept}}=0,88\,V_1 (já que V_{\text{dead}}=0,12\,V_1), temos V_1=\frac{V_{\text{swept}}}{0,88}=\frac{0,0001413716694}{0,88}=0,000160648744\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume morto (TDC), V_2, é V_2=V_1/r ou simplesmente V_2=V_1- V_{\text{swept}}. Conferindo: V_2 = \frac{V_1}{r}=\frac{0,000160648744}{8,3333333}=0,000019278069\\ \mathrm{m^3}.Observação rápida: V_2=V_{\text{dead}} e é 0,12\,V_1, consistência confirmada.

Passo 5

Converter pressões e temperaturas para unidades SI e calcular constantes:
  • Pressão inicial P_1: fornecida 100,7\\ \mathrm{kPa} que é P_1=100700\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura inicial T_1: 100^\circ\mathrm{F} -> em Kelvin: T_1 = (100^\circ\mathrm{F}-32)\cdot\frac{5}{9}+273,15 = 310,9278\\ \mathrm{K}.(ou simplesmente 100^\circ\mathrm{F}=310,9278\\ \mathrm{K}).
  • Temperatura máxima T_3: dada 5200\\ \mathrm{R}. Conversão para Kelvin: 1\\ \mathrm{R}=5/9\\ \mathrm{K}, logo T_3 = 5200\cdot\frac{5}{9}=2888,8889\\ \mathrm{K}.
  • Constantes do ar (assumidas constantes): \gamma=1,4,\qquad R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.Assim C_v=\frac{R_{\text{ar}}}{\gamma-1}=\frac{287}{0,4}=717,5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 6

Calcular T_2 e T_4 pelas relações isentrópicas e mostrar o cálculo do expoente:
  • Primeiro calcular r^{\gamma-1}=r^{0,4}. Usando r=8,333333\ldots: r^{0,4}= \exp\bigl(0,4\ln r\bigr)\approx 2,33509.
  • Então T_2 = T_1\,r^{0,4} = 310,9278\cdot 2,33509 \approx 726,846\\ \mathrm{K}.
  • E T_4 = T_3\,r^{1-\gamma}=T_3\,r^{-0,4}=\frac{T_3}{r^{0,4}}=\frac{2888,8889}{2,33509}\approx 1237,634\\ \mathrm{K}.
Explicando em palavras: a compressão isentrópica eleva a temperatura de T_1 para T_2 segundo r^{\gamma-1}; a expansão isentrópica reduz T_3 para T_4 pela mesma razão inversa.

Passo 7

Calcular a massa de ar no cilindro no início da compressão (estado 1), passo a passo:
  • Equação dos gases ideais: m=\frac{P_1 V_1}{R_{\text{ar}} T_1}.
  • Substituindo valores: m=\frac{100700\cdot 0,000160648744}{287\cdot 310,9278}.Calcule numerador e denominador separadamente:
    • numerador =100700\cdot 0,000160648744\approx 16,1775,
    • denominador =287\cdot 310,9278\approx 89236,079.
      Logo
    m\approx \frac{16,1775}{89236,079}=0,0001812373\\ \mathrm{kg}.
Comentário amistoso: a massa por cilindro parece pequena — faz sentido: cilindros têm volumes pequenos!

Passo 8

Calcular o trabalho líquido por ciclo por cilindro (em J) e converter para Btu — conta detalhada:
  • Primeiro calcular o termo de temperatura do w_{\text{net}}: \Delta T_{\text{net}} = T_3 - T_2 - T_4 + T_1.Substituindo: \Delta T_{\text{net}} = 2888,8889 - 726,846 - 1237,634 + 310,9278 \approx 1235,3367\\ \mathrm{K}.
  • Agora w_{\text{net}} por unidade de massa: w_{\text{net}} = C_v\cdot\Delta T_{\text{net}} = 717,5\cdot 1235,3367 \approx 886192,3\\ \mathrm{J/kg}.
  • Trabalho por ciclo por cilindro: W_{\text{ciclo}} = m\cdot w_{\text{net}} = 0,0001812373\cdot 886192,3 \approx 160,619\\ \mathrm{J}.
  • Converter para Btu ( 1\\ \mathrm{Btu}=1055,05585\\ \mathrm{J} ): W_{\text{ciclo}} = \frac{160,619}{1055,05585}\approx 0,152249\\ \mathrm{Btu}.
Interpretação: cada cilindro entrega cerca de 0,15225\\ \mathrm{Btu} por ciclo.

Passo 9

Calcular a potência do motor (HP) usando o trabalho por ciclo e a velocidade do motor:
  • Frequência de ciclos por segundo por cilindro: como é motor quatro-tempos, cada cilindro completa 1 ciclo a cada 2 revoluções. Assim f_{\text{por cilindro}}=\frac{N}{60\cdot 2}=\frac{3600}{120}=30\\ \mathrm{ciclos/s}.
  • Para 4 cilindros a frequência total de ciclos úteis por segundo é f_{\text{total}}=4\cdot 30=120\\ \mathrm{ciclos/s}.
  • Potência em watts: \dot{W}=W_{\text{ciclo}}\cdot f_{\text{total}} = 160,619\\ \mathrm{J}\cdot 120\\ \mathrm{s^{-1}} \approx 19274,3\\ \mathrm{W}.
  • Converter para HP ( 1\\ \mathrm{HP}=745,699872\\ \mathrm{W} ): \text{Potência} = \frac{19274,3}{745,699872}\approx 25,85\\ \mathrm{HP}.ê
Comentário final encorajador: então o motor, com esse ciclo idealizado, entrega cerca de 25,9\\ \mathrm{HP}. Não esqueça que este é um modelo ideal (Otto com ar ideal e C_v constante); na prática perdas reduzem esse valor.

Resposta

W_{\text{ciclo}}=0,15225\\ \mathrm{Btu\\ per\\ cycle\\ (por\\ cilindro)}
\text{Potência}\approx 25,85\\ \mathrm{HP}ê

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