Considere um ciclo de ar-padrão Diesel. Os dados operacionais são fornecidos em seus estados principais no ciclo, na tabela a seguir. Os estados estão numerados, conforme a Fig. 9.5. Para k=1,4, c_{v}=0,718 \mathrm{~kJ} / (\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), \mathrm{e} c_{p}=1,005 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), determine
(a) a transferência de calor por unidade de massa \mathrm{e} o trabalho por unidade de massa para cada processo, em kJ/kg, e a eficiência térmica do ciclo.
(b) a transferência de exergia que acompanha o calor e o trabalho para cada processo, em kJ/kg. Elabore e calcule uma eficiência exergética para o ciclo. Considere T_{0}=300 \mathrm{~K}, p_{0}=100 \mathrm{kPa}.
Estado T(\mathrm{~K}) p(\mathrm{kPa}) v\left(\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}\right)
1 340 100 0,9758
2 1030,7 4850,3 0,06098
3 2061,4 4850,3 0,1220
4 897,3 263,9 0,9758

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedidos:
    (a) Para cada processo do ciclo (1→2, 2→3, 3→4, 4→1) determinar a transferência de calor por unidade de massa e o trabalho por unidade de massa (em kJ/kg) e a eficiência térmica do ciclo.
    (b) Para cada processo determinar a transferência de exergia que acompanha o calor e a que acompanha o trabalho (em kJ/kg) e calcular uma eficiência exergética do ciclo. Considerar T_{0}=300\\ \mathrm{K} e p_{0}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Dados (retirados da tabela do enunciado):
    • Estado 1: T_{1}=340\\ \mathrm{K}, p_{1}=100\\ \mathrm{kPa}, v_{1}=0{,}9758\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
    • Estado 2: T_{2}=1030{,}7\\ \mathrm{K}, p_{2}=4850{,}3\\ \mathrm{kPa}, v_{2}=0{,}06098\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
    • Estado 3: T_{3}=2061{,}4\\ \mathrm{K}, p_{3}=4850{,}3\\ \mathrm{kPa}, v_{3}=0{,}1220\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
    • Estado 4: T_{4}=897{,}3\\ \mathrm{K}, p_{4}=263{,}9\\ \mathrm{kPa}, v_{4}=0{,}9758\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Propriedades do gás (fornecidas):
    c_{v}=0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_{p}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad k=1{,}4.
  • Observações sobre o ciclo (pelos dados):
    • p_{2}=p_{3}\Rightarrow processo 2\to3 é a adição de calor a pressão constante.
    • v_{1}=v_{4}\Rightarrow processo 4\to1 é rejeição de calor a volume constante.
    • 1\to2 e 3\to4 são processos adiabáticos (isentrópicos) típicos do ciclo Diesel (dados mostram variação de T e v compatíveis).
A próxima etapa é fixar convenções de sinal e as fórmulas que vamos usar para calcular q, w, entropias e exergia.

Passo 2

Convenções de sinal e fórmulas básicas (aulas rápidas e didáticas).
  • Convenção de sinais usada aqui:
    • Calor q>0 significa calor entra no sistema; q<0 calor sai.
    • Trabalho w>0 significa trabalho realizado pelo sistema (expansão); w<0 trabalho realizado sobre o sistema (compressão).
  • Primeira lei para sistema fechado (por unidade de massa):
    \Delta u = q - w,
    em que \Delta u = c_{v}\Delta T para gás ideal com c_{v} constante.
    Assim, para um processo conhecido:
    • Se q for conhecido, w = q - \Delta u.
    • Se q=0 (adiabático), então w = -\Delta u = -c_{v}(T_{2}-T_{1}).
  • Para processo a pressão constante ( 2\to3):
    • A entalpia muda \Delta h = c_{p}\Delta T.
    • O calor trocado é q_{2\to3}=c_{p}(T_{3}-T_{2}).
    • O trabalho de fronteira w_{2\to3}=\int p\,dv = p(v_{3}-v_{2}). Em unidades usadas: 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^{3}}=1\\ \mathrm{kJ}.
  • Para processo a volume constante ( 4\to1):
    • w_{4\to1}=0.
    • q_{4\to1}= \Delta u = c_{v}(T_{1}-T_{4}).
  • Entropia (para gás ideal com cp, cv constantes):
    • Em processo a pressão constante 2\to3: \Delta s_{2\to3}=c_{p}\ln\!\left(\dfrac{T_{3}}{T_{2}}\right).
    • Em processo a volume constante 4\to1: \Delta s_{4\to1}=c_{v}\ln\!\left(\dfrac{T_{1}}{T_{4}}\right).
    • Em processos isentrópicos \Delta s=0.
  • Exergia associada ao calor trocado (quando o calor é trocado de forma reversível ao longo do processo, e tomando o próprio campo de temperatura do sistema para o cálculo):
    X_{Q}=\int \left(1-\dfrac{T_{0}}{T}\right)\, \delta Q.
    Para processos onde podemos usar a relação reversível \delta Q=T\,ds, obtemos a expressão prática:
    X_{Q}=q - T_{0}\Delta s,
    que é conveniente para processos fechados quando se conhece q e \Delta s.
  • Exergia associada ao trabalho de fronteira (trabalho mecânico) é trabalho em si (trabalho é exergia de alta qualidade), logo
    X_{W}=w.
Agora vamos calcular passo a passo os calores, trabalhos, entropias e exergias para cada processo usando os números.

Passo 3

Cálculos numéricos das grandezas termodinâmicas por processo (parte (a): q e w).
Primeiro determinar R (constante específica do gás):
R=c_{p}-c_{v}=1{,}005-0{,}718=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Processo 1\to2 (adiabático isentrópico):
  • q_{1\to2}=0 (adiabático).
  • \Delta T_{1\to2}=T_{2}-T_{1}=1030{,}7-340=690{,}7\\ \mathrm{K}.
  • \Delta u=c_{v}\Delta T=0{,}718\cdot 690{,}7=495{,}9226\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Pelo balanço w_{1\to2}=q-\Delta u=0-495{,}9226=-495{,}9226\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (trabalho negativo: trabalho realizado SOBRE o gás, compressão).
Processo 2\to3 (adição de calor a pressão constante):
  • \Delta T_{2\to3}=T_{3}-T_{2}=2061{,}4-1030{,}7=1030{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Calor trocado: q_{2\to3}=c_{p}\Delta T=1{,}005\cdot 1030{,}7=1035{,}8535\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho de fronteira (p constante): w_{2\to3}=p_{2}(v_{3}-v_{2})=4850{,}3\cdot(0{,}1220-0{,}06098).Calcular \Delta v=0{,}06102\\ \mathrm{m^{3}/kg} e w_{2\to3}=4850{,}3\cdot 0{,}06102=295{,}8109\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (checa com w=R\Delta T=0{,}287\cdot1030{,}7=295{,}8109\\ \mathrm{kJ/kg}, consistente).
Processo 3\to4 (adiabático isentrópico, expansão):
  • q_{3\to4}=0.
  • \Delta T_{3\to4}=T_{4}-T_{3}=897{,}3-2061{,}4=-1164{,}1\\ \mathrm{K}.
  • \Delta u=c_{v}\Delta T=0{,}718\cdot(-1164{,}1)=-835{,}8238\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • w_{3\to4}=q-\Delta u=0-(-835{,}8238)=+835{,}8238\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (trabalho positivo: trabalho realizado pelo gás, expansão).
Processo 4\to1 (rejeição de calor a volume constante):
  • w_{4\to1}=0 (volume constante).
  • \Delta T_{4\to1}=T_{1}-T_{4}=340-897{,}3=-557{,}3\\ \mathrm{K}.
  • q_{4\to1}=c_{v}\Delta T=0{,}718\cdot(-557{,}3)=-400{,}1414\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (calor negativo: calor sai do sistema).
Verificação de energia (soma de q e w):
  • q_{\text{in}}=q_{2\to3}=1035{,}8535\\ \mathrm{kJ/kg} (apenas processo 2→3 adiciona calor).
  • Trabalho líquido: W_{\text{net}}=\sum w = w_{1\to2}+w_{2\to3}+w_{3\to4}+w_{4\to1} = -495{,}9226+295{,}8109+835{,}8238+0 = 635{,}7121\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Checagem: W_{\text{net}}=q_{\text{in}}+\sum q_{\text{out}} (com sinais) e numericamente 635{,}7121=1035{,}8535-400{,}1414 — consistente.
Eficiência térmica do ciclo (parte (a)):
\eta_{\text{térmica}}=\dfrac{W_{\text{net}}}{q_{\text{in}}}=\dfrac{635{,}7121}{1035{,}8535}=0{,}613992\approx 61{,}399\%.é

Passo 4

Cálculos das variações de entropia e da exergia associada ao calor (parte (b): X_{Q} e X_{W}).
Lembrete: usaremos a expressão prática (válida quando \delta Q=T\,ds para o cálculo da contribuição de exergia associada ao calor):
X_{Q}=q - T_{0}\Delta s.
E para o trabalho:
X_{W}=w.
Calcular \Delta s onde necessário.
Processos isentrópicos 1\to2 e 3\to4:
  • \Delta s_{1\to2}=0,\quad \Delta s_{3\to4}=0.
  • Assim X_{Q,1\to2}=0 e X_{Q,3\to4}=0 (nenhum calor trocado nestes processos).
Processo 2\to3 (p constante):
  • \Delta s_{2\to3}=c_{p}\ln\!\left(\dfrac{T_{3}}{T_{2}}\right) =1{,}005\ln\!\left(\dfrac{2061{,}4}{1030{,}7}\right).
  • Note que \dfrac{2061{,}4}{1030{,}7}=2, então \ln(2)=0{,}693147.
  • Logo \Delta s_{2\to3}=1{,}005\cdot 0{,}693147=0{,}6966127\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Exergia associada ao calor de entrada: X_{Q,2\to3}=q_{2\to3}-T_{0}\Delta s_{2\to3} =1035{,}8535 - 300\cdot 0{,}6966127 = 826{,}8697\\ \mathrm{kJ/kg}.
Processo 4\to1 (v constante):
  • \Delta s_{4\to1}=c_{v}\ln\!\left(\dfrac{T_{1}}{T_{4}}\right).
    Observação: a soma das variações de entropia em todo o ciclo é zero (ciclo fechado e dados consistentes), então \Delta s_{4\to1}=-\Delta s_{2\to3}=-0{,}6966127\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Exergia associada ao calor rejeitado: X_{Q,4\to1}=q_{4\to1}-T_{0}\Delta s_{4\to1} =-400{,}1414 - 300\cdot(-0{,}6966127) = -191{,}1576\\ \mathrm{kJ/kg}.Observação: X_{Q,4\to1}<0 significa que a transferência de calor para o reservatório retira exergia do sistema; o módulo 191{,}1576\\ \mathrm{kJ/kg} é a exergia perdida por rejeição de calor.
Exergia associada ao trabalho em cada processo (simples):
X_{W,1\to2}=w_{1\to2}=-495{,}9226\\ \mathrm{kJ/kg},
X_{W,2\to3}=w_{2\to3}=295{,}8109\\ \mathrm{kJ/kg},
X_{W,3\to4}=w_{3\to4}=835{,}8238\\ \mathrm{kJ/kg},
X_{W,4\to1}=w_{4\to1}=0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Verificação exergética global (consistência):
  • Exergia fornecida pela fonte de calor (processo 2→3) é X_{Q,2\to3}=826{,}8697\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Exergia “utilizável” obtida como trabalho de saída é W_{\text{net}}=635{,}7121\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Exergia retirada com rejeição de calor (módulo) é 191{,}1576\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Note que 826{,}8697\approx 635{,}7121+191{,}1576 (igualidade dentro de arredondamento), ou seja, toda a exergia fornecida pela fonte aparece como trabalho útil mais exergia rejeitada — não há exergia destruída porque o ciclo idealizado é reversível segundo os dados. (Isto também é consistente com soma das variações de entropia igual a zero.)
Eficiência exergética do ciclo:
  • Definição prática utilizada aqui: eficiência exergética = trabalho líquido obtido / exergia fornecida pela fonte de calor. \eta_{\text{ex}}=\dfrac{W_{\text{net}}}{X_{Q,2\to3}} =\dfrac{635{,}7121}{826{,}8697}=0{,}768642\approx 76{,}864\%.

Passo 5

Resumo numérico (preparando a resposta final: listar tudo organizado e arredondado).
Os valores que calculamos (arredondando a 3 casas decimais quando conveniente):
  • Processos: 1\to2,\;2\to3,\;3\to4,\;4\to1.
  • Calores q (kJ/kg) e trabalhos w (kJ/kg).
  • Exergias associadas ao calor X_{Q} (kJ/kg) e ao trabalho X_{W}=w (kJ/kg).
  • Eficiência térmica e exergética.
Os números finais serão apresentados na seção de resposta final.

Resposta

(a) Processo 1\to2: q=0{,}000\\ \mathrm{kJ/kg}, w=-495{,}923\\ \mathrm{kJ/kg}.
(a) Processo 2\to3: q=1035{,}854\\ \mathrm{kJ/kg}, w=295{,}811\\ \mathrm{kJ/kg}.
(a) Processo 3\to4: q=0{,}000\\ \mathrm{kJ/kg}, w=835{,}824\\ \mathrm{kJ/kg}.
(a) Processo 4\to1: q=-400{,}141\\ \mathrm{kJ/kg}, w=0{,}000\\ \mathrm{kJ/kg}.
(a) Eficiência térmica: \eta_{\text{térmica}}=0{,}613992\approx 61{,}399\%é.
(b) Exergia associada ao calor e ao trabalho (kJ/kg):
(b) Processo 1\to2: X_{Q}=0{,}000\\ \mathrm{kJ/kg}, X_{W}=w=-495{,}923\\ \mathrm{kJ/kg}.
(b) Processo 2\to3: X_{Q}=826{,}870\\ \mathrm{kJ/kg}, X_{W}=w=295{,}811\\ \mathrm{kJ/kg}.
(b) Processo 3\to4: X_{Q}=0{,}000\\ \mathrm{kJ/kg}, X_{W}=w=835{,}824\\ \mathrm{kJ/kg}.
(b) Processo 4\to1: X_{Q}=-191{,}158\\ \mathrm{kJ/kg}, X_{W}=w=0{,}000\\ \mathrm{kJ/kg}.
(b) Eficiência exergética (definida como W_{\text{net}}/X_{Q,\text{fonte}}): \eta_{\text{ex}}=0{,}768642\approx 76{,}864\%.

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