Considere um ciclo de ar-padrão Otto. Os dados operacionais são fornecidos em seus estados principais no ciclo, na tabela adiante. Os estados estão numerados, conforme a Fig. 9.3. A massa de ar é 0,002 \mathrm{~kg}. Determine
(a) o calor recebido e o calor rejeitado, ambos em kJ.
(b) o trabalho líquido, em kJ.
(c) a eficiência térmica.
(d) a pressão média efetiva, em kPa .
Estado T(\mathrm{~K}) p(\mathrm{kPa}) u(\mathrm{k}) / \mathrm{kg})
1 305 85 217,67
2 367,4 767,9 486,77
3 960 2006 725,02
4 458,7 127,8 329,01

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) o calor recebido e o calor rejeitado (ambos em kJ);
  • (b) o trabalho líquido por ciclo (em kJ);
  • (c) a eficiência térmica do ciclo;
  • (d) a pressão média efetiva (em kPa).
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
  • massa do ar: m=0{,}002\\ \mathrm{kg}.
  • Estados (valores de T, p e u por kg):
    • Estado 1: T_1=305\\ \mathrm{K}, p_1=85\\ \mathrm{kPa}, u_1=217{,}67\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Estado 2: T_2=367{,}4\\ \mathrm{K}, p_2=767{,}9\\ \mathrm{kPa}, u_2=486{,}77\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Estado 3: T_3=960\\ \mathrm{K}, p_3=2006\\ \mathrm{kPa}, u_3=725{,}02\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Estado 4: T_4=458{,}7\\ \mathrm{K}, p_4=127{,}8\\ \mathrm{kPa}, u_4=329{,}01\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observação sobre o ciclo Otto (só para situar): o aquecimento ocorre em volume constante no processo 2\to3 e o resfriamento ocorre em volume constante no processo 4\to1. Por isso, o calor trocado nesses processos é dado pelas variações de energia interna.

Passo 2

Fórmula e raciocínio para o calor recebido no processo 2\to3.
  • Teoria curta e prática: em um processo de volume constante (fechado), o trabalho de fronteira é zero e, pela 1ª lei ( \Delta E = Q - W), o calor entregue ao sistema é igual ao aumento da energia interna. Para um fluido com energia interna específica u (em \mathrm{kJ/kg}), a energia interna total é m u. Logo, para o processo \,2\to3 (aquecimento):
Q_{in} = m\,(u_3 - u_2).
  • Substituindo os valores (peguei u_2 e u_3 da tabela):
Q_{in} = 0{,}002\cdot\bigl(725{,}02 - 486{,}77\bigr)\\ \mathrm{kJ}.
Calcule passo a passo:
u_3-u_2 = 725{,}02 - 486{,}77 = 238{,}25\\ \mathrm{kJ/kg},
Q_{in} = 0{,}002 \times 238{,}25 = 0{,}4765\\ \mathrm{kJ}.

Passo 3

Fórmula e raciocínio para o calor rejeitado no processo 4\to1.
  • Mesmo raciocínio: processo de volume constante, então o calor rejeitado é a redução (ou variação) da energia interna entre 4 e 1. Como o enunciado pede o calor rejeitado (valor positivo do calor descarregado), usamos:
Q_{out} = m\,(u_4 - u_1).
  • Substituindo os valores (peguei u_4 e u_1 da tabela):
Q_{out} = 0{,}002\cdot\bigl(329{,}01 - 217{,}67\bigr)\\ \mathrm{kJ}.
Calcule passo a passo:
u_4-u_1 = 329{,}01 - 217{,}67 = 111{,}34\\ \mathrm{kJ/kg},
Q_{out} = 0{,}002 \times 111{,}34 = 0{,}22268\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Trabalho líquido por ciclo (energia líquida entregue pelo ciclo).
  • Raciocínio: para um ciclo termodinâmico fechado, a variação de energia interna total por ciclo é zero, então o trabalho líquido é a diferença entre calor recebido e calor rejeitado:
W_{net} = Q_{in} - Q_{out}.
  • Substituindo os valores obtidos:
W_{net} = 0{,}4765 - 0{,}22268 = 0{,}25382\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Eficiência térmica do ciclo.
  • Definição: eficiência térmica é a razão entre trabalho líquido entregue e calor fornecido:
\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}}.
  • Substituindo:
\eta = \frac{0{,}25382}{0{,}4765} \approx 0{,}5327.
  • Em porcentagem:
\eta \approx 53{,}27\%.
Interpretação curta: isso significa que, do calor de 0{,}4765\\ \mathrm{kJ} fornecido, 0{,}2538\\ \mathrm{kJ} é convertido em trabalho útil, o restante é rejeitado.

Passo 6

Cálculo dos volumes nos estados para obter o volume varrido (swept volume) e, então, a pressão média efetiva.
  • Fórmula prática: usando a equação do gás ideal para ar como gás ideal:
pV = m R T,
onde R é a constante específica do ar. Usamos R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} (valor padrão para ar seco). Aqui p está em \mathrm{kPa}, V em \mathrm{m^3}, T em \mathrm{K}, o que torna a equação consistente em kJ.
  • Assim, o volume em cada estado é:
V = \frac{m R T}{p}.
Calcule V_1 (peguei T_1 e p_1 da tabela):
V_1 = \frac{0{,}002\cdot 0{,}287 \cdot 305}{85} .
Passo a passo:
0{,}002\cdot0{,}287 = 0{,}000574\\ (\mathrm{kJ/K}),
0{,}000574\cdot305 = 0{,}17507\\ (\mathrm{kJ}),
V_1 = \frac{0{,}17507}{85} = 0{,}00205965\\ \mathrm{m^3}.
Calcule V_2 (peguei T_2 e p_2 da tabela):
V_2 = \frac{0{,}002\cdot0{,}287\cdot367{,}4}{767{,}9} = \frac{0{,}2108876}{767{,}9} \approx 0{,}00027465\\ \mathrm{m^3}.
Verificação rápida: V_3 conforme tabela (peguei T_3 e p_3) dá praticamente o mesmo que V_2, confirmando que 2\to3 é volume constante:
V_3 = \frac{0{,}002\cdot0{,}287\cdot960}{2006} \approx 0{,}00027466\\ \mathrm{m^3}.
E V_4 coincide com V_1 (peguei T_4 e p_4):
V_4 = \frac{0{,}002\cdot0{,}287\cdot458{,}7}{127{,}8} \approx 0{,}00205965\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume varrido (swept volume, ou deslocamento) é a diferença entre V_1 (volume máximo) e V_2 (volume mínimo):
V_{s} = V_1 - V_2 \approx 0{,}00205965 - 0{,}00027465 = 0{,}001784997\\ \mathrm{m^3}.

Passo 7

Cálculo da pressão média efetiva (PME).
  • Definição prática: a pressão média efetiva é o trabalho por ciclo dividido pela área da base do pistão (equivalente aqui ao volume varrido), ou seja,
\mathrm{PME} = \frac{W_{net}}{V_s}.
  • Substituindo W_{net}=0{,}25382\\ \mathrm{kJ} e V_s=0{,}001784997\\ \mathrm{m^3}:
\mathrm{PME} = \frac{0{,}25382}{0{,}001784997}\\ \mathrm{kJ/m^3} \approx 142{,}25\\ \mathrm{kPa}.
Observação: 1\\ \mathrm{kJ/m^3} = 1\\ \mathrm{kPa}, por isso as unidades conferem.

Resposta

(a) Q_{in}=0{,}4765\\ \mathrm{kJ} \qquad Q_{out}=0{,}2227\\ \mathrm{kJ}
(b) W_{net}=0{,}2538\\ \mathrm{kJ}
(c) \eta=0{,}5327\approx53{,}27\%
(d) \mathrm{PME}=142{,}25\\ \mathrm{kPa}

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