6.14 A probabilidade de encontrar um elétron 1 s e 2 s é maior no núcleo, em ambos os casos. Considerando que isto é verdade, será correto dizer que a subcamada 2 s está mais afastada do núcleo do que a subcamada 1 s ? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que “a probabilidade de encontrar um elétron 1s e 2s é maior no núcleo, em ambos os casos”, é correto afirmar que a subcamada 2s está mais afastada do núcleo do que a subcamada 1s.
Informações dadas (explicitadas):
  • Foi afirmado que tanto o elétron 1s quanto o 2s têm probabilidade maior “no núcleo” (interpretação: a função de onda em r=0 pode ser não nula).
  • A pergunta quer saber se, considerando isso, é correto dizer que a subcamada 2s está mais afastada do núcleo que a 1s.

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicação didática e termos):
  • Função de onda: \psi(r,\theta,\varphi) descreve o estado do elétron. A probabilidade de encontrar o elétron em um volume pequeno é dada por |\psi|^2\\ dV. Aqui r é a distância ao núcleo, \theta,\varphi ângulos esféricos.
  • Densidade de probabilidade radial: para estados esféricos (subnível s, dependência só em r) a quantidade mais útil é a probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr, dada por
P(r)\,dr = 4\pi r^{2}|\psi(r)|^{2}\,dr.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • r: distância ao núcleo;
  • \psi(r): função de onda radial (dependendo só de r para orbitais s);
  • 4\pi r^{2}: elemento de volume em coordenadas esféricas (superfície de esfera de raio r vezes espessura dr);
  • P(r): densidade de probabilidade radial (probabilidade por unidade de r).
  • Observação importante: mesmo que \psi(0)\neq 0, a probabilidade no ponto exato r=0 é zero porque o elemento de volume tende a zero; o que importa é como P(r) se comporta para pequenos r.

Passo 3

Fórmulas específicas para os orbitais 1s e 2s do átomo de hidrogênio (ou hidrogenoide) — sem entrar em detalhes de normalização, mas mostrando a forma radial:
  • Função de onda 1s (dependência radial):
\psi_{1s}(r) \propto e^{-r/a_{0}},
onde a_{0} é o raio de Bohr (constante, medida de comprimento). Isso significa que |\psi_{1s}(r)|^{2} decai exponencialmente com r. Em particular \psi_{1s}(0) é finito e não nulo.
  • Função de onda 2s:
\psi_{2s}(r) \propto \bigl(2 - r/a_{0}\bigr)\,e^{-r/(2a_{0})}.
Aqui aparece o fator (2 - r/a_{0}), que gera um nó radial (valor de r onde \psi_{2s}=0). Note que \psi_{2s}(0) também é finito e diferente de zero (pois ao pôr r=0 obtemos \psi_{2s}(0)\propto 2).
  • Conclusão desta etapa: ambos os orbitais têm \psi(0)\neq0 (ou seja, a função de onda não se anula no núcleo), portanto existe amplitude de encontrar elétrons muito próximos ao núcleo em ambos os casos — isso é compatível com a afirmação do enunciado.

Passo 4

Construir as densidades radiais P(r) (até constantes de normalização) e estudar onde estão os máximos (mais intuitivo para “onde o elétron costuma estar”):
  • Para 1s:
P_{1s}(r)\propto r^{2} e^{-2r/a_{0}}.
Derivando em relação a r para achar máximos:
\frac{dP_{1s}}{dr}\propto e^{-2r/a_{0}}\bigl(2r - \tfrac{2r^{2}}{a_{0}}\bigr)=e^{-2r/a_{0}}\,2r\Bigl(1-\frac{r}{a_{0}}\Bigr).
Zerando: r=0 (mínimo trivial pelo r^{2}) ou r=a_{0}. Logo o máximo radial mais relevante do 1s ocorre em
r_{\text{max},1s}=a_{0}.
Interpretação: a maioria da probabilidade radial do 1s está ao redor de r=a_{0} (o raio de Bohr).
  • Para 2s:
    usar x=r/a_{0} para simplificar. A densidade radial (proporcional) é
P_{2s}(r)\propto r^{2}\bigl(2 - r/a_{0}\bigr)^{2} e^{-r/a_{0}} \quad\Rightarrow\quad f(x)=x^{2}(2-x)^{2}e^{-x}.
Achar extremos: calcular \frac{d}{dx}\ln f(x)=0. Fazendo isso obtemos a equação
\frac{2}{x}-\frac{2}{2-x}-1=0.
Multiplicando e reorganizando chega-se a
x^{2}-6x+4=0,
cuja solução dá
x=3\pm\sqrt{5}.
Como x=r/a_{0}>0, temos dois valores positivos:
x_{1}=3-\sqrt{5}\approx 0{,}764,\qquad x_{2}=3+\sqrt{5}\approx 5{,}236.
Portanto os máximos radiais do 2s ocorrem em
r_{\text{max,\,interno},2s}\approx 0{,}764\,a_{0},\qquad r_{\text{max,\,externo},2s}\approx 5{,}236\,a_{0}.
Observações: o 2s tem uma estrutura com dois “picos” de probabilidade radial (um interno e um externo) separados por um nó (onde \psi_{2s}=0). O pico externo está muito mais afastado que o pico do 1s (que está em a_{0}).

Passo 5

Valores médios (esperança de r) — outra medida de “quão afastado” o elétron costuma estar:
  • Para níveis de hidrogênio existe a fórmula (para média radial)
\langle r\rangle_{n\ell}=\frac{a_{0}}{2}\bigl(3n^{2}-\ell(\ell+1)\bigr),
onde n é o número quântico principal e \ell é o número quântico azimutal. Explicando as variáveis: n governa o nível (1 para 1s, 2 para 2s), \ell=0 para orbitais s.
Aplicando:
  • Para 1s ( n=1,\ell=0):
\langle r\rangle_{1s}=\frac{a_{0}}{2}(3\cdot 1^{2}-0)=\tfrac{3}{2}\,a_{0}=1{,}5\,a_{0}.
  • Para 2s ( n=2,\ell=0):
\langle r\rangle_{2s}=\frac{a_{0}}{2}(3\cdot 2^{2}-0)=\frac{a_{0}}{2}\cdot 12=6\,a_{0}.
Interpretação: em média o elétron 2s está muito mais afastado do que o 1s ( 6a_{0} versus 1{,}5a_{0}).

Passo 6

Conclusão lógica e resposta à pergunta (explicada passo a passo, jeito de prova):
  • A afirmação “a probabilidade de encontrar o elétron é maior no núcleo” precisa ser bem interpretada: \psi(0) pode ser não nulo tanto para 1s quanto para 2s, então há amplitude de encontrar elétrons próximos ao núcleo em ambos. Porém a probabilidade radial P(r)=4\pi r^{2}|\psi|^{2} é o que diz onde o elétron costuma estar em termos de distância ao núcleo.
  • Resultados mostrados:
    • O máximo radial do 1s fica em r=a_{0}.
    • O 2s tem um pico interno (pequeno) perto de 0{,}76\,a_{0} e um pico externo grande em \approx 5{,}24\,a_{0}.
    • A média \langle r\rangle do 2s ( 6a_{0}) é muito maior que a do 1s ( 1{,}5a_{0}).
  • Portanto: não é correto interpretar que a subcamada 2s está “sempre” mais afastada do núcleo do que a 1s. O correto é dizer que, em média e no pico radial externo, os elétrons do 2s estão mais afastados do que os do 1s; mas o 2s também apresenta probabilidade de estar bem próximo ao núcleo (tem um pico interno e \psi_{2s}(0)\neq0). Em linguagem curta: a 2s é mais extensa (mais espalhada), mas não está exclusivamente longe do núcleo.

Passo 7

Dica para prova (modo prático): se a pergunta pede “mais afastada” prefira responder com referência a uma medida como "média de r" ou “pico radial externo”. Dizendo “em média o 2s está mais afastado” você acerta; dizer “o 2s está mais afastado em todos os pontos” está incorreto. Mantém essa distinção na resposta e dá pontos.

Resposta

Não exatamente; a subcamada 2s é, em média e no pico radial externo, muito mais afastada do núcleo do que a 1s (por exemplo \langle r\rangle_{1s}=\tfrac{3}{2}a_{0} e \langle r\rangle_{2s}=6a_{0}, e o pico externo do 2s ocorre em r\approx5{,}24\,a_{0} enquanto o pico do 1s está em r=a_{0}), mas o 2s também tem probabilidade não nula próxima ao núcleo ( \psi_{2s}(0)\neq0) e um pico radial interno; portanto não se pode afirmar que o 2s esteja sempre mais afastado do núcleo que o 1s.

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