6.14 A probabilidade de encontrar um elétron
e
é maior no núcleo, em ambos os casos. Considerando que isto é verdade, será correto dizer que a subcamada
está mais afastada do núcleo do que a subcamada
? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado que “a probabilidade de encontrar um elétron 1s e 2s é maior no núcleo, em ambos os casos”, é correto afirmar que a subcamada
está mais afastada do núcleo do que a subcamada
.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Foi afirmado que tanto o elétron
quanto o têm probabilidade maior “no núcleo” (interpretação: a função de onda em pode ser não nula). - A pergunta quer saber se, considerando isso, é correto dizer que a subcamada
está mais afastada do núcleo que a .
Passo 2
Conceitos fundamentais (explicação didática e termos):
- Função de onda:
descreve o estado do elétron. A probabilidade de encontrar o elétron em um volume pequeno é dada por . Aqui é a distância ao núcleo, ângulos esféricos. - Densidade de probabilidade radial: para estados esféricos (subnível
, dependência só em ) a quantidade mais útil é a probabilidade de encontrar o elétron entre e , dada por
Explicação do que cada símbolo significa:
-
: distância ao núcleo; -
: função de onda radial (dependendo só de para orbitais ); -
: elemento de volume em coordenadas esféricas (superfície de esfera de raio vezes espessura ); -
: densidade de probabilidade radial (probabilidade por unidade de ). - Observação importante: mesmo que
, a probabilidade no ponto exato é zero porque o elemento de volume tende a zero; o que importa é como se comporta para pequenos .
Passo 3
Fórmulas específicas para os orbitais
e
do átomo de hidrogênio (ou hidrogenoide) — sem entrar em detalhes de normalização, mas mostrando a forma radial:
- Função de onda
(dependência radial):
onde
é o raio de Bohr (constante, medida de comprimento). Isso significa que
decai exponencialmente com
. Em particular
é finito e não nulo.
- Função de onda
:
Aqui aparece o fator
, que gera um nó radial (valor de
onde
). Note que
também é finito e diferente de zero (pois ao pôr
obtemos
).
- Conclusão desta etapa: ambos os orbitais têm
(ou seja, a função de onda não se anula no núcleo), portanto existe amplitude de encontrar elétrons muito próximos ao núcleo em ambos os casos — isso é compatível com a afirmação do enunciado.
Passo 4
Construir as densidades radiais
(até constantes de normalização) e estudar onde estão os máximos (mais intuitivo para “onde o elétron costuma estar”):
- Para
:
Derivando em relação a
para achar máximos:
Zerando:
(mínimo trivial pelo
) ou
. Logo o máximo radial mais relevante do
ocorre em
Interpretação: a maioria da probabilidade radial do
está ao redor de
(o raio de Bohr).
- Para
:
usarpara simplificar. A densidade radial (proporcional) é
Achar extremos: calcular
. Fazendo isso obtemos a equação
Multiplicando e reorganizando chega-se a
cuja solução dá
Como
, temos dois valores positivos:
Portanto os máximos radiais do
ocorrem em
Observações: o
tem uma estrutura com dois “picos” de probabilidade radial (um interno e um externo) separados por um nó (onde
). O pico externo está muito mais afastado que o pico do
(que está em
).
Passo 5
Valores médios (esperança de
) — outra medida de “quão afastado” o elétron costuma estar:
- Para níveis de hidrogênio existe a fórmula (para média radial)
onde
é o número quântico principal e
é o número quântico azimutal. Explicando as variáveis:
governa o nível (1 para 1s, 2 para 2s),
para orbitais
.
Aplicando:
Aplicando:
- Para
( ):
- Para
( ):
Interpretação: em média o elétron
está muito mais afastado do que o
(
versus
).
Passo 6
Conclusão lógica e resposta à pergunta (explicada passo a passo, jeito de prova):
- A afirmação “a probabilidade de encontrar o elétron é maior no núcleo” precisa ser bem interpretada:
pode ser não nulo tanto para quanto para , então há amplitude de encontrar elétrons próximos ao núcleo em ambos. Porém a probabilidade radial é o que diz onde o elétron costuma estar em termos de distância ao núcleo. - Resultados mostrados:
- O máximo radial do
fica em . - O
tem um pico interno (pequeno) perto de e um pico externo grande em . - A média
do ( ) é muito maior que a do ( ).
- O máximo radial do
- Portanto: não é correto interpretar que a subcamada
está “sempre” mais afastada do núcleo do que a . O correto é dizer que, em média e no pico radial externo, os elétrons do estão mais afastados do que os do ; mas o também apresenta probabilidade de estar bem próximo ao núcleo (tem um pico interno e ). Em linguagem curta: a é mais extensa (mais espalhada), mas não está exclusivamente longe do núcleo.
Passo 7
Dica para prova (modo prático): se a pergunta pede “mais afastada” prefira responder com referência a uma medida como "média de
" ou “pico radial externo”. Dizendo “em média o
está mais afastado” você acerta; dizer “o
está mais afastado em todos os pontos” está incorreto. Mantém essa distinção na resposta e dá pontos.
Resposta
Não exatamente; a subcamada
é, em média e no pico radial externo, muito mais afastada do núcleo do que a
(por exemplo
e
, e o pico externo do
ocorre em
enquanto o pico do
está em
), mas o
também tem probabilidade não nula próxima ao núcleo (
) e um pico radial interno; portanto não se pode afirmar que o
esteja sempre mais afastado do núcleo que o
.