Compare, em termos de tamanho e forma, os seguintes orbitais:
2 s e 2 p_{x}

Passo 1

O enunciado pede uma comparação, em termos de tamanho e forma, entre os orbitais \,2s\, e \,2p_{x}\,.
Informações dadas (implícitas no enunciado): estamos tratando de orbitais atômicos com mesmo número principal n=2; deve-se comparar geometria (simetria, nós, orientação) e extensão espacial (tamanho / como a densidade eletrônica se distribui).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (sem pular etapas):
  • Um orbital atômico pode ser escrito como produto de uma parte radial e uma parte angular:
\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=R_{n\ell}(r)\,Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi).
Aqui \,R_{n\ell}(r)\, depende só da distância radial r ao núcleo; \,Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi)\, é a parte angular que determina a forma e orientação no espaço.
  • Nós (zeros da função) dividem-se em:
    • nós radiais: valores de r>0 onde R_{n\ell}(r)=0;
    • nós angulares: superfícies (planos, cones, etc.) onde Y_{\ell}^{m}=0.
  • O número total de nós (radiais + angulares) é n-1. Para n=2 há exatamente 1 nó no total.

Passo 3

Formas explícitas (caso hidrogenoide, para visualizar nitidamente). Vou mostrar as partes radiais para n=2:
R_{20}(r)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)},
R_{21}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}.
Explicando cada termo: a_0 é o raio de Bohr (escala de comprimento); fatores numéricos são normalizações; o fator exponencial e^{-r/(2a_0)} determina a decaída com r.

Passo 4

Onde estão os nós (usando as formas acima)?
  • Para 2s ( \ell=0): o fator radial tem o termo (2-r/a_0). Portanto há um nó radial quando
2-\frac{r}{a_0}=0\quad\Rightarrow\quad r=2a_0.
Esse é o único nó (já que n-1=1), e é um nó radial: a densidade eletrônica passa a zero numa esfera de raio r=2a_0. O orbital 2s é esfericamente simétrico (a parte angular é constante).
  • Para 2p ( \ell=1): o fator radial tem um \propto r, logo R_{21}(r)=0 somente em r=0 (o que é obrigatório para \ell\ge1); não há nó radial adicional. O único nó de n=2 portanto é angular: vem da parte angular Y_{1}^{m}.

Passo 5

Forma angular e orientação do \,2p_{x}\,:
  • O orbital 2p_{x} tem parte angular proporcional a \sin\theta\cos\varphi (é combinação linear de Y_{1}^{m}), que corresponde a duas lobes ao longo do eixo x com sinais opostos.
  • Há um nó angular planar onde a função muda de sinal: o plano x=0 (o plano yz). Ou seja, no plano yz a função vale zero e as duas metades (lóbulo positivo e negativo) ficam uma de cada lado do plano.
  • Conclusão geométrica: 2p_{x} tem forma de dois lóbulos alongados ao longo do eixo x; não é esférico e tem orientação definida.

Passo 6

Tamanho (extensão espacial) — comparação mais quantitativa:
  • Uma medida simples de “tamanho” é o valor esperado de r, \langle r\rangle. Para orbitais hidrogenoides existe a fórmula
\langle r\rangle = \frac{a_0}{2}\bigl(3n^2-\ell(\ell+1)\bigr).
Aplicando a n=2:
\langle r\rangle_{2s}=\frac{a_0}{2}\bigl(3\cdot2^2-0\bigr)=\frac{a_0}{2}\cdot12=6a_0,
\langle r\rangle_{2p}=\frac{a_0}{2}\bigl(3\cdot2^2-1\cdot2\bigr)=\frac{a_0}{2}\cdot10=5a_0.
Portanto, em média o elétron no \,2s\, está um pouco mais distante do núcleo ( 6a_0) que no \,2p\, ( 5a_0). Isso mostra que, embora ambos pertençam a n=2 (mesma escala radial geral), o 2s tem uma extensão média ligeiramente maior.

Passo 7

Outros pontos físicos importantes (úteis para prova e intuição):
  • Penetração e densidade no núcleo:
    • \,2s\, tem valor não nulo em r=0 (pois \ell=0), então existe densidade eletrônica no núcleo — isso dá ao 2s maior capacidade de “penetração” em átomos multieletrônicos (importante para energias relativas).
    • \,2p\, é zero em r=0; portanto não contribui no núcleo.
  • Distribuição de probabilidade:
    • 2s mostra duas regiões radiais separadas pelo nó em r=2a_0: uma região interna e outra externa; isso causa uma distribuição com um máximo interno e um máximo externo (duas “casquinhas”).
    • 2p tem uma só região principal (sem nó radial), mas dividida angularmente em dois lóbulos opostos.
  • Simetria:
    • 2s: simetria esférica (independe de direção).
    • 2p_x: simetria dipolar, orientado ao longo de x.

Passo 8

Resumo prático (como responder numa prova, em poucas linhas e com segurança):
  • Forma: 2s é esférico; 2p_x tem dois lóbulos ao longo de x separados por um plano nodal yz.
  • Nós: 2s tem um nó radial em r=2a_0; 2p_x tem um nó angular (plano x=0) e nenhum nó radial além de r=0.
  • Tamanho: ambos têm escala n=2, mas \langle r\rangle_{2s}=6a_0 e \langle r\rangle_{2p}=5a_0 — o 2s é, em média, ligeiramente mais extenso; porém 2s também tem componente mais próximo ao núcleo (penetrante) devido à sua densidade não nula em r=0.

Resposta

Forma: 2s é esfericamente simétrico; 2p_{x} tem dois lóbulos ao longo do eixo x separados pelo plano nodal yz.
Nós: 2s possui um nó radial em r=2a_0; 2p_{x} possui um nó angular (plano) e nenhum nó radial para r>0.
Tamanho: ambos têm mesma escala principal ( n=2), mas \langle r\rangle_{2s}=6a_0 e \langle r\rangle_{2p}=5a_0, ou seja, o 2s é ligeiramente mais extenso em média e penetra mais no núcleo.

Exercícios relacionados