Compare, em termos de tamanho e forma, os seguintes orbitais:
e
Passo 1
O enunciado pede uma comparação, em termos de tamanho e forma, entre os orbitais
e
.
Informações dadas (implícitas no enunciado): estamos tratando de orbitais atômicos com mesmo número principal ; deve-se comparar geometria (simetria, nós, orientação) e extensão espacial (tamanho / como a densidade eletrônica se distribui).
Informações dadas (implícitas no enunciado): estamos tratando de orbitais atômicos com mesmo número principal
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (sem pular etapas):
- Um orbital atômico pode ser escrito como produto de uma parte radial e uma parte angular:
Aqui
depende só da distância radial
ao núcleo;
é a parte angular que determina a forma e orientação no espaço.
- Nós (zeros da função) dividem-se em:
- nós radiais: valores de
onde ; - nós angulares: superfícies (planos, cones, etc.) onde
.
- nós radiais: valores de
- O número total de nós (radiais + angulares) é
. Para há exatamente 1 nó no total.
Passo 3
Formas explícitas (caso hidrogenoide, para visualizar nitidamente). Vou mostrar as partes radiais para
:
Explicando cada termo:
é o raio de Bohr (escala de comprimento); fatores numéricos são normalizações; o fator exponencial
determina a decaída com
.
Passo 4
Onde estão os nós (usando as formas acima)?
- Para
( ): o fator radial tem o termo . Portanto há um nó radial quando
Esse é o único nó (já que
), e é um nó radial: a densidade eletrônica passa a zero numa esfera de raio
. O orbital
é esfericamente simétrico (a parte angular é constante).
- Para
( ): o fator radial tem um , logo somente em (o que é obrigatório para ); não há nó radial adicional. O único nó de portanto é angular: vem da parte angular .
Passo 5
Forma angular e orientação do
:
- O orbital
tem parte angular proporcional a (é combinação linear de ), que corresponde a duas lobes ao longo do eixo com sinais opostos. - Há um nó angular planar onde a função muda de sinal: o plano
(o plano ). Ou seja, no plano a função vale zero e as duas metades (lóbulo positivo e negativo) ficam uma de cada lado do plano. - Conclusão geométrica:
tem forma de dois lóbulos alongados ao longo do eixo ; não é esférico e tem orientação definida.
Passo 6
Tamanho (extensão espacial) — comparação mais quantitativa:
- Uma medida simples de “tamanho” é o valor esperado de
, . Para orbitais hidrogenoides existe a fórmula
Aplicando a
:
Portanto, em média o elétron no
está um pouco mais distante do núcleo (
) que no
(
). Isso mostra que, embora ambos pertençam a
(mesma escala radial geral), o
tem uma extensão média ligeiramente maior.
Passo 7
Outros pontos físicos importantes (úteis para prova e intuição):
- Penetração e densidade no núcleo:
-
tem valor não nulo em (pois ), então existe densidade eletrônica no núcleo — isso dá ao maior capacidade de “penetração” em átomos multieletrônicos (importante para energias relativas). -
é zero em ; portanto não contribui no núcleo.
-
- Distribuição de probabilidade:
-
mostra duas regiões radiais separadas pelo nó em : uma região interna e outra externa; isso causa uma distribuição com um máximo interno e um máximo externo (duas “casquinhas”). -
tem uma só região principal (sem nó radial), mas dividida angularmente em dois lóbulos opostos.
-
- Simetria:
-
: simetria esférica (independe de direção). -
: simetria dipolar, orientado ao longo de .
-
Passo 8
Resumo prático (como responder numa prova, em poucas linhas e com segurança):
- Forma:
é esférico; tem dois lóbulos ao longo de separados por um plano nodal . - Nós:
tem um nó radial em ; tem um nó angular (plano ) e nenhum nó radial além de . - Tamanho: ambos têm escala
, mas e — o é, em média, ligeiramente mais extenso; porém também tem componente mais próximo ao núcleo (penetrante) devido à sua densidade não nula em .
Resposta
Forma:
é esfericamente simétrico;
tem dois lóbulos ao longo do eixo
separados pelo plano nodal
.
Nós: possui um nó radial em
;
possui um nó angular (plano) e nenhum nó radial para
.
Tamanho: ambos têm mesma escala principal ( ), mas
e
, ou seja, o
é ligeiramente mais extenso em média e penetra mais no núcleo.
Nós:
Tamanho: ambos têm mesma escala principal (