2.2.14 Sejam k um natural fixado e \left(a_{n}\\\right)\ a sequência definida por a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\\\\ldots \sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas.
Mostre que \left(a_{n}\\\right) é convergente.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Foi fixado um natural k (ou seja, k\in\mathbb{N}, portanto k\ge 0).
  • A sequência \left(a_{n}\right) é definida por expressão com exatamente n raízes:
a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\cdots+\sqrt{k}}}}
com n raízes aninhadas.
  • O que se pede: mostrar que a sequência \left(a_{n}\right) é convergente (ou seja, que existe o limite \lim_{n\to\infty}a_n).

Passo 2

Reescrever a definição de modo recursivo (isso facilita trabalhar com a sequência).
  • O primeiro termo é
a_{1}=\sqrt{k}.
  • Para n\ge 1 vale a relação de recorrência (porque adiciona-se uma raiz sobre o termo anterior):
a_{n+1}=\sqrt{k+a_{n}}.
Esta forma recursiva é equivalente à definição por n raízes e será usada para provas por indução.

Passo 3

Mostrar que todos os termos são não negativos e explicar por que isso é óbvio.
  • Como k\ge 0 e a raiz quadrada retorna um número não negativo, temos a_{1}=\sqrt{k}\ge 0.
  • Se a_{n}\ge 0 então a_{n+1}=\sqrt{k+a_{n}}\ge 0.
  • Logo, por indução, a_{n}\ge 0 para todo n. Isso é útil depois quando descartamos raízes negativas.

Passo 4

Mostrar que a sequência é monótona crescente (ou seja, a_{n+1}\ge a_{n} para todo n).
  • Observação útil: a função f(x)=\sqrt{k+x} é crescente em x (porque derivada positiva para x>-k); em termos elementares, se x\le y então \sqrt{k+x}\le\sqrt{k+y}.
  • Base da indução: comparar a_{2} e a_{1}:
a_{2}=\sqrt{k+\sqrt{k}}\ge \sqrt{k}=a_{1},
pois \sqrt{k}\ge 0.
  • Passo indutivo: suponha que a_{n}\ge a_{n-1}. Aplicando a função crescente f obtemos
a_{n+1}=\sqrt{k+a_{n}}\ge \sqrt{k+a_{n-1}}=a_{n}.
  • Assim, por indução, a_{n+1}\ge a_{n} para todo n. Portanto \left(a_{n}\right) é monótona crescente.

Passo 5

Encontrar um majorante (uma cota superior) para mostrar que a sequência é limitada superiormente.
  • Se a sequência tiver um limite L, ele deve satisfazer a igualdade de ponto fixo vindo da recorrência:
L=\sqrt{k+L}.
  • Resolver essa equação para encontrar candidatos a cota superior: elevar ao quadrado dá
L^{2}=k+L \qquad\Longrightarrow\qquad L^{2}-L-k=0.
  • As raízes dessa equação quadrática são
L=\frac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2}.
Como queremos L\ge 0 (dos termos já vimos que são não negativos), o candidato relevante é a raiz positiva
L^{*}=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.
  • Agora provar por indução que a_{n}\le L^{*} para todo n:
    • Base: a_{1}=\sqrt{k}. Comparar com L^{*}: ao quadrar L^{*} obtemos L^{*2}=L^{*}+k\ge k, daí L^{*}\ge\sqrt{k}=a_{1}.
    • Passo indutivo: suponha a_{n}\le L^{*}. Então
    a_{n+1}=\sqrt{k+a_{n}}\le\sqrt{k+L^{*}}=\sqrt{L^{*2}}=L^{*},pois L^{*}\ge 0. Logo a_{n+1}\le L^{*}.
  • Portanto, por indução, a_{n}\le L^{*} para todo n. Assim \left(a_{n}\right) é limitada superiormente por L^{*}.

Passo 6

Concluir convergência usando o teorema do termo monótono e limitado.
  • Teorema (forma intuitiva): toda sequência real que é monótona crescente e limitada superiormente converge para um número real.
  • Já mostramos que \left(a_{n}\right) é monótona crescente (Passo 4) e limitada superiormente por L^{*} (Passo 5). Logo, por esse teorema, \left(a_{n}\right) é convergente; existe
\lim_{n\to\infty}a_{n}=L
para algum L\in\mathbb{R} com 0\le L\le L^{*}.

Passo 7

Determinar o valor do limite (mostra que é exatamente L^{*}).
  • Como a_{n+1}=\sqrt{k+a_{n}} e a_{n}\to L, passando ao limite em ambos os lados obtemos (por continuidade da raiz quadrada)
L=\sqrt{k+L}.
  • Essa equação já foi resolvida: as soluções são \dfrac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2}. Como L\ge 0, o único valor possível é
L=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}=L^{*}.
  • Portanto a sequência não só converge, como converge justamente para \dfrac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}

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