2.2.14 Sejam k um natural fixado e
a sequência definida por
com exatamente
raízes quadradas.
Mostre que
é convergente.
Mostre que
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Foi fixado um natural
(ou seja, , portanto ). - A sequência
é definida por expressão com exatamente raízes:
com
raízes aninhadas.
- O que se pede: mostrar que a sequência
é convergente (ou seja, que existe o limite ).
Passo 2
Reescrever a definição de modo recursivo (isso facilita trabalhar com a sequência).
- O primeiro termo é
- Para
vale a relação de recorrência (porque adiciona-se uma raiz sobre o termo anterior):
Esta forma recursiva é equivalente à definição por
raízes e será usada para provas por indução.
Passo 3
Mostrar que todos os termos são não negativos e explicar por que isso é óbvio.
- Como
e a raiz quadrada retorna um número não negativo, temos . - Se
então . - Logo, por indução,
para todo . Isso é útil depois quando descartamos raízes negativas.
Passo 4
Mostrar que a sequência é monótona crescente (ou seja,
para todo
).
- Observação útil: a função
é crescente em (porque derivada positiva para ); em termos elementares, se então . - Base da indução: comparar
e :
pois
.
- Passo indutivo: suponha que
. Aplicando a função crescente obtemos
- Assim, por indução,
para todo . Portanto é monótona crescente.
Passo 5
Encontrar um majorante (uma cota superior) para mostrar que a sequência é limitada superiormente.
- Se a sequência tiver um limite
, ele deve satisfazer a igualdade de ponto fixo vindo da recorrência:
- Resolver essa equação para encontrar candidatos a cota superior: elevar ao quadrado dá
- As raízes dessa equação quadrática são
Como queremos
(dos termos já vimos que são não negativos), o candidato relevante é a raiz positiva
- Agora provar por indução que
para todo : - Base:
. Comparar com : ao quadrar obtemos , daí . - Passo indutivo: suponha
. Então
pois . Logo . - Base:
- Portanto, por indução,
para todo . Assim é limitada superiormente por .
Passo 6
Concluir convergência usando o teorema do termo monótono e limitado.
- Teorema (forma intuitiva): toda sequência real que é monótona crescente e limitada superiormente converge para um número real.
- Já mostramos que
é monótona crescente (Passo 4) e limitada superiormente por (Passo 5). Logo, por esse teorema, é convergente; existe
para algum
com
.
Passo 7
Determinar o valor do limite (mostra que é exatamente
).
- Como
e , passando ao limite em ambos os lados obtemos (por continuidade da raiz quadrada)
- Essa equação já foi resolvida: as soluções são
. Como , o único valor possível é
- Portanto a sequência não só converge, como converge justamente para
.