3.8 Encontre as tangentes comuns as parábolas y=x^{2} e y=2+(x-3)^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas parábolas e pede as tangentes comuns a elas. As informações fornecidas são:
  • Primeira parábola: y=x^{2}.
  • Segunda parábola: y=2+(x-3)^{2}.
O que se pede: encontrar as equações das retas que são tangentes simultaneamente às duas parábolas (ou seja, retas que tocam cada parábola em exatamente um ponto e com mesma inclinação local nesses pontos).

Passo 2

Vou escolher um método prático: representar uma reta genérica por y=mx+c e impor que ela seja tangente a cada parábola. Explico por que:
  • Se uma reta y=mx+c é tangente a uma parábola dada por y=f(x), então a equação f(x)=mx+c tem uma raiz dupla (um único ponto de interseção, com multiplicidade 2). Para uma equação quadrática isso significa discriminante igual a zero.
  • Esse procedimento transforma o problema em equações algébricas simples para m e c.
    Vou aplicar essa ideia às duas parábolas e resolver para m e c.

Passo 3

Recordando e ensinando o conceito de discriminante para quadráticas: se uma equação quadrática é \;Ax^{2}+Bx+C=0\;, seu discriminante é \Delta=B^{2}-4AC. A condição de raiz dupla (tangência) é \Delta=0.
Aplicando à primeira parábola y=x^{2}. Igualando à reta:
x^{2}=mx+c \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-mx-c=0.
Aqui A=1, B=-m, C=-c. O discriminante é
\Delta_1 = (-m)^{2}-4\cdot1\cdot(-c)=m^{2}+4c.
Para tangência precisamos \Delta_1=0. Portanto
m^{2}+4c=0 \quad\Longrightarrow\quad c=-\dfrac{m^{2}}{4}.
Isso descreve todas as retas que são tangentes à primeira parábola: têm forma y=mx-\dfrac{m^{2}}{4}.

Passo 4

Agora imponho que a mesma reta y=mx+c seja tangente à segunda parábola y=2+(x-3)^{2}. Primeiro ponho as expressões em igualdade:
2+(x-3)^{2}=mx+c.
Expandindo o quadrado:
x^{2}-6x+11 = mx+c.
Colocando tudo num lado:
x^{2}+(-6-m)x+(11-c)=0.
Aqui A=1, B=-6-m, C=11-c. O discriminante deve ser zero:
\Delta_2 = (-6-m)^{2}-4(11-c)=0.
Faço as contas passo a passo. Primeiro expandindo:
(-6-m)^{2}=m^{2}+12m+36.
Então
m^{2}+12m+36-44+4c=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}+12m-8+4c=0.
Agora substituo c obtido no Passo 3, c=-\dfrac{m^{2}}{4}:
m^{2}+12m-8+4\left(-\dfrac{m^{2}}{4}\right)=0.
O termo com m^{2} cancela:
m^{2}+12m-8 - m^{2}=12m-8=0.
Logo
12m-8=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Com m=\dfrac{2}{3} encontro c usando c=-\dfrac{m^{2}}{4}:
m^{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}, \qquad c=-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{9}=-\dfrac{1}{9}.
Portanto a reta é
y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{9}.
Verificações didáticas e interpretação (como checar na prova sem erro):
  • Tangência à primeira parábola: a derivada de y=x^{2} é y'=2x. Se a reta tangencia em x=a, então 2a=m=\dfrac{2}{3}, logo a=\dfrac{1}{3}. O ponto de tangência é \left(\dfrac{1}{3},\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\right)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{9}\right). Substituindo na reta dá y=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{9}, consistente.
  • Tangência à segunda parábola: a derivada de y=2+(x-3)^{2} é y'=2(x-3). Se a reta tangencia em x=b, então 2(b-3)=m=\dfrac{2}{3}, logo b-3=\dfrac{1}{3} e b=\dfrac{10}{3}. O ponto vale y=2+(b-3)^{2}=2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=2+\dfrac{1}{9}=\dfrac{19}{9}. Substituindo x=b na reta: y=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{10}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{20}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{19}{9}, consistente.
Observação final: não existem retas verticais tangentes às parábolas (as parábolas não têm tangente vertical), e o procedimento mostrou que só há uma solução para m, logo existe exatamente uma tangente comum.

Resposta

y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{9}

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