3.8 Encontre as tangentes comuns as parábolas
Passo 1
O enunciado dá duas parábolas e pede as tangentes comuns a elas. As informações fornecidas são:
- Primeira parábola:
. - Segunda parábola:
.
O que se pede: encontrar as equações das retas que são tangentes simultaneamente às duas parábolas (ou seja, retas que tocam cada parábola em exatamente um ponto e com mesma inclinação local nesses pontos).
Passo 2
Vou escolher um método prático: representar uma reta genérica por
e impor que ela seja tangente a cada parábola. Explico por que:
- Se uma reta
é tangente a uma parábola dada por , então a equação tem uma raiz dupla (um único ponto de interseção, com multiplicidade 2). Para uma equação quadrática isso significa discriminante igual a zero. - Esse procedimento transforma o problema em equações algébricas simples para
e .
Vou aplicar essa ideia às duas parábolas e resolver parae .
Passo 3
Recordando e ensinando o conceito de discriminante para quadráticas: se uma equação quadrática é
, seu discriminante é
. A condição de raiz dupla (tangência) é
.
Aplicando à primeira parábola
. Igualando à reta:
Aqui
,
,
. O discriminante é
Para tangência precisamos
. Portanto
Isso descreve todas as retas que são tangentes à primeira parábola: têm forma
.
Passo 4
Agora imponho que a mesma reta
seja tangente à segunda parábola
. Primeiro ponho as expressões em igualdade:
Expandindo o quadrado:
Colocando tudo num lado:
Aqui
,
,
. O discriminante deve ser zero:
Faço as contas passo a passo. Primeiro expandindo:
Então
Agora substituo
obtido no Passo 3,
:
O termo com
cancela:
Logo
Passo 5
Com
encontro
usando
:
Portanto a reta é
Verificações didáticas e interpretação (como checar na prova sem erro):
- Tangência à primeira parábola: a derivada de
é . Se a reta tangencia em , então , logo . O ponto de tangência é . Substituindo na reta dá , consistente. - Tangência à segunda parábola: a derivada de
é . Se a reta tangencia em , então , logo e . O ponto vale . Substituindo na reta: , consistente.
Observação final: não existem retas verticais tangentes às parábolas (as parábolas não têm tangente vertical), e o procedimento mostrou que só há uma solução para
, logo existe exatamente uma tangente comum.