3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\frac{x \cdot \cos {-1}\left(x{2}\right)}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x\cdot \cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}+1}.
Informações extraídas do enunciado:
  • A função envolve \cos^{-1}\bigl(x^{2}\bigr) (arccoseno de x^{2}), portanto é necessário que o argumento satisfaça -1 \le x^{2} \le 1. Como x^{2}\ge 0 sempre, isso implica |x|\le 1. Logo o domínio natural da função é [-1,1].
  • O denominador \,x^{2}+1\,$ nunca é zero (pois \(x^{2}+1\ge 1), portanto não cria restrição adicional.
  • O enunciado pede a derivada assumindo que ela está definida no “domínio máximo” — vamos, ao calcular, indicar onde a derivada existe (ou não), já que a derivada do arccos tem singularidade nos extremos do seu domínio.)

Passo 2

Relembrando as fórmulas que usaremos (com explicação didática, passo a passo):
  • Regra do quociente: se F(x)=\dfrac{G(x)}{H(x)} com G e H diferenciáveis e H(x)\ne 0, então
F'(x)=\frac{G'(x)H(x)-G(x)H'(x)}{H(x)^{2}}.
Aqui G é o numerador e H o denominador; a ideia é derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair numerador vezes derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.
  • Regra do produto: se G(x)=u(x)\,v(x), então
G'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
É a “derivar um de cada vez” mantendo o outro.
  • Regra da cadeia: se y = \varphi(\psi(x)), então
y'=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da parte interna.
  • Derivada do arccoseno: para u numa vizinhança de um ponto com |u|<1, tem-se
\frac{d}{dx}\bigl[\cos^{-1}(u)\bigr] = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Explicação breve: se y=\cos^{-1}(u) então \cos y = u. Diferenciando implicitamente: -\sin y\;y' = u', logo y' = -u'/\sin y. Como \sin y = \sqrt{1-\cos^{2}y} = \sqrt{1-u^{2}} (e para a imagem usual de \cos^{-1} o sinal da raiz é positivo), obtemos a fórmula acima. Note que o denominador \sqrt{1-u^{2}} força que a fórmula só faça sentido quando |u|<1; em u=\pm1 a derivada explodiria.

Passo 3

Aplicação das regras à nossa função. Definimos
G(x)=x\cdot \cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr),\qquad H(x)=x^{2}+1,
de modo que f(x)=\dfrac{G(x)}{H(x)}. Vamos calcular G'(x) e H'(x).
Primeiro H'(x) é simples:
H'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.
Agora G'(x) usando a regra do produto u(x)=x e v(x)=\cos^{-1}\!(x^{2}):
  • u'(x)=1.
  • Para v'(x) aplicamos a regra da cadeia com v(t)=\cos^{-1}(t) e t(x)=x^{2}. Pela fórmula do arccos:
v'(x) = -\frac{t'(x)}{\sqrt{1-t(x)^{2}}} = -\frac{2x}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}} = -\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.
Portanto, pela regra do produto,
G'(x) = 1\cdot \cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) + x\cdot\Bigl(-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\Bigr) = \cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) - \frac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{G'(x)H(x)-G(x)H'(x)}{H(x)^{2}}.
Substituindo G,\,G',\,H,\,H' encontramos
f'(x) = \frac{\Bigl(\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) - \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}}\Bigr)\,(x^{2}+1) - \bigl(x\cos^{-1}\!(x^{2})\bigr)\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Vamos simplificar o numerador com cuidado (passo-a-passo, sem pular etapas):
Começando pelo numerador N(x):
N(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) - \bigl(x^{2}+1\bigr)\frac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} - 2x^{2}\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr).
Agrupando os termos que têm \cos^{-1}\!(x^{2}):
\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) - 2x^{2}\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) = \bigl( x^{2}+1 - 2x^{2}\bigr)\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) = (1-x^{2})\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr).
Assim
N(x)=(1-x^{2})\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr) - \frac{2x^{2}\bigl(x^{2}+1\bigr)}{\sqrt{1-x^{4}}}.
Dividindo por (x^{2}+1)^{2}, obtemos uma forma mais compacta e esclarecedora:
f'(x) = \frac{(1-x^{2})\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}} - \frac{2x^{2}}{(x^{2}+1)\sqrt{1-x^{4}}}.
Observação sobre a simplificação: a segunda fração surgiu porque \dfrac{2x^{2}(x^{2}+1)}{\sqrt{1-x^{4}}} dividido por (x^{2}+1)^{2} deixa \dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+1)\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 6

Determinar onde essa expressão faz sentido (ou seja, o domínio da derivada):
  • O termo \sqrt{1-x^{4}} aparece no denominador; ele é estritamente positivo quando |x|<1 e igual a zero quando |x|=1. Logo a expressão para f'(x) é bem definida apenas para |x|<1.
  • Para |x|<1 a função original está definida e todas as regras aplicadas (produto, cadeia, quociente) são válidas, portanto a derivada existe para -1<x<1.
  • Em x=\pm 1 a função f está definida (pois \cos^{-1}(1)=0 e \cos^{-1}(1)=0 em x=\pm1), mas a derivada do arccos em u=\pm1 não existe (divergência por causa do denominador \sqrt{1-u^{2}}); portanto f' não existe em x=\pm 1.
Exemplo rápido de verificação: para x=0 a fórmula dá
f'(0)=\frac{(1-0)\cos^{-1}(0)}{(0+1)^{2}} - \frac{0}{(0+1)\sqrt{1-0}} = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2},
o que é finito e faz sentido.

Resposta

f'(x)=\frac{(1-x^{2})\cos^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}}-\frac{2x^{2}}{(x^{2}+1)\sqrt{1-x^{4}}}
\text{Domínio da derivada: }(-1,1)í

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