3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\frac{x \cdot \cos {-1}\left(x{2}\right)}{x^{2}+1}
f(x)=\frac{x \cdot \cos {-1}\left(x{2}\right)}{x^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações extraídas do enunciado:
- A função envolve
(arccoseno de ), portanto é necessário que o argumento satisfaça . Como sempre, isso implica . Logo o domínio natural da função é . - O denominador ), portanto não cria restrição adicional.
- O enunciado pede a derivada assumindo que ela está definida no “domínio máximo” — vamos, ao calcular, indicar onde a derivada existe (ou não), já que a derivada do arccos tem singularidade nos extremos do seu domínio.)
Passo 2
Relembrando as fórmulas que usaremos (com explicação didática, passo a passo):
- Regra do quociente: se
com e diferenciáveis e , então
Aqui
é o numerador e
o denominador; a ideia é derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair numerador vezes derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.
- Regra do produto: se
, então
É a “derivar um de cada vez” mantendo o outro.
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da parte interna.
- Derivada do arccoseno: para
numa vizinhança de um ponto com , tem-se
Explicação breve: se
então
. Diferenciando implicitamente:
, logo
. Como
(e para a imagem usual de
o sinal da raiz é positivo), obtemos a fórmula acima. Note que o denominador
força que a fórmula só faça sentido quando
; em
a derivada explodiria.
Passo 3
Aplicação das regras à nossa função. Definimos
de modo que
. Vamos calcular
e
.
Primeiro
é simples:
Agora
usando a regra do produto
e
:
-
. - Para
aplicamos a regra da cadeia com e . Pela fórmula do arccos:
Portanto, pela regra do produto,
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente:
Substituindo
encontramos
Passo 5
Vamos simplificar o numerador com cuidado (passo-a-passo, sem pular etapas):
Começando pelo numerador :
Começando pelo numerador
Agrupando os termos que têm
:
Assim
Dividindo por
, obtemos uma forma mais compacta e esclarecedora:
Observação sobre a simplificação: a segunda fração surgiu porque
dividido por
deixa
.
Passo 6
Determinar onde essa expressão faz sentido (ou seja, o domínio da derivada):
- O termo
aparece no denominador; ele é estritamente positivo quando e igual a zero quando . Logo a expressão para é bem definida apenas para . - Para
a função original está definida e todas as regras aplicadas (produto, cadeia, quociente) são válidas, portanto a derivada existe para . - Em
a função está definida (pois e em ), mas a derivada do arccos em não existe (divergência por causa do denominador ); portanto não existe em .
Exemplo rápido de verificação: para
a fórmula dá
o que é finito e faz sentido.