*6.20. Cada elemento da treliça é uniforme e tem massa por unidade de comprimento de 8 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Remova as cargas externas de 3 kN e 2 kN e determine a força aproximada em cada elemento devido ao peso da treliça. Indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Solucione o problema admitindo que o peso de cada elemento pode ser representado como uma força vertical, metade da qual é aplicada nas extremidades de cada um dos elementos.
Problemas 6.19/20

Passo 1

O enunciado pede para determinar as forças aproximadas em cada elemento de uma treliça causadas pelo próprio peso da treliça, depois de se removerem as cargas externas de 3\\ \mathrm{kN} e 2\\ \mathrm{kN}. Foi dado que cada elemento é uniforme com massa por unidade de comprimento de 8\\ \mathrm{kg/m} e que o peso de cada elemento pode ser representado por uma força vertical concentrada, metade aplicada em cada extremidade do elemento.
Informações dadas explicitamente:
  • massa por unidade de comprimento de cada elemento: 8\\ \mathrm{kg/m};
  • modelo aproximado do peso de cada elemento: força vertical igual a w_i = \rho L_i g, com metade aplicada em cada nó extremo do elemento.
Informações necessárias que NÃO foram fornecidas no enunciado recebido (portanto impedem a obtenção numérica das forças):
  • diagrama/figura da treliça (topologia: quais nós existem e quais elementos ligam quais nós);
  • coordenadas dos nós ou comprimentos de cada elemento L_i;
  • tipo e posição das apoios (pino, rolete) e suas localizações (para calcular reações);
  • qualquer dado geométrico adicional (ângulos dos elementos, espaçamentos, etc.).
Conclusão do passo: sem a figura ou os comprimentos/coordena das barras e a localização dos apoios, NÃO é possível calcular numericamente as forças em cada elemento. A partir do próximo passo eu explico, passo a passo e didaticamente, como se resolve o problema quando esses dados estiverem disponíveis — assim você pode aplicar direto na sua prova assim que tiver a treliça completa.

Passo 2

Converter massa por comprimento em carga por comprimento (peso por metro). Aqui a massa linear é \rho=8\\ \mathrm{kg/m} e usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} para obter a intensidade de peso por metro w.
A fórmula é
w=\rho g.
Substituindo:
w = 8\cdot 9{,}81 = 78{,}48\\ \mathrm{N/m} = 0{,}07848\\ \mathrm{kN/m}.
Interpretação prática: cada metro de um elemento “pesa” 78{,}48\\ \mathrm{N}, ou 0{,}07848\\ \mathrm{kN}. Se um elemento tem comprimento L_i (em metros), o peso total do elemento é
W_i = w L_i.

Passo 3

Como pediram a aproximação em que o peso de cada elemento é representado por uma força vertical com metade aplicada em cada extremidade, transforme W_i em cargas nodais equivalentes:
Para cada elemento i com comprimento L_i,
W_i = w L_i.
Em cada extremidade do elemento coloque-se uma carga vertical para baixo igual a
P_{i,\text{cada nó}} = \frac{W_i}{2} = \frac{w L_i}{2}.ó
Ensino rápido do porquê: o peso distribuído uniformemente numa barra entre dois nós pode ser substituído, para análise estática dos nós, por duas forças concentradas iguais nas extremidades que somam o mesmo total e apresentam o mesmo momento resultante sobre a barra (aproximação linear que preserva resultante e momento).

Passo 4

Montar o vetor de cargas nodais verticais resultantes do peso da treliça.
Para cada nó j da treliça, some as contribuições de metade do peso de cada elemento que tenha esse nó como extremidade:
P_j = \sum_{i\in\mathcal{A}(j)} \frac{w L_i}{2},
onde \mathcal{A}(j) é o conjunto de elementos ligados ao nó j.
Observação prática: alguns nós de extremidade de elementos de comprimento curto receberão pouca carga; nós internos com várias barras ligadas recebem somatório maior.

Passo 5

Calcular as reações de apoio (passo obrigatório antes de determinar forças internas).
  • Identificar os apoios e suas restrições (por exemplo: pino em um nó fornece R_{Ax},R_{Ay}, e rolete em outro nó fornece R_{By} apenas se for vertical).
  • Aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo inteiro (equilíbrio de toda a treliça) — assumindo treliça rígida como corpo livre das cargas nodais: \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0.
  • Na prática, para reação vertical total: \sum F_y: \quad \sum_j P_j + \text{(outras cargas verticais, se houver)} + \sum R_{y} = 0,onde P_j são cargas verticais para baixo (portanto sinais negativos).
  • Use o balanço de momentos em torno de um ponto conveniente para obter reações sem resolver sistemas desnecessários.
Explicação didática: o somatório de forças verticais e momentos garante que as reações suportarão o peso total. Se houver duas reações verticais desconhecidas, use \sum F_y=0 e \sum M=0 para resolver; se houver 3 reações desconhecidas e uma é horizontal, use \sum F_x=0 também.

Passo 6

Determinar as forças axiais nos elementos — método de juntas (explicado passo a passo).
  1. Convenção de sinais: adote F_{ij}>0 para tração (puxando o nó) e F_{ij}<0 para compressão (empurrando o nó). Seja consistente.
  2. Comece por um nó onde haja no máximo duas incógnitas (isso é típico em treliças estaticamente determinadas). No nó, escreva as duas equações de equilíbrio (componentes x e y):
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0.
  1. Para cada força de um elemento que forma um ângulo \theta com a horizontal, decompõe-se:
\text{componente x: } F\cos\theta,\qquad \text{componente y: } F\sin\theta.
  1. Substitua as forças conhecidas (cargas nodais e reações) e resolva o sistema linear de duas equações com as até duas incógnitas. O sinal da solução indica tração ou compressão.
Repetir processo nó a nó (resolvendo sucessivamente nós com incógnitas reduzidas) até encontrar todas as forças.
Dica prática: sempre resolva primeiro nós com apenas dois elementos desconhecidos. Use esquemas desenhados à mão com as setas das forças desconhecidas para organizar os sinais.

Passo 7

Método das seções (quando quiser calcular diretamente uma força de um elemento interior):
  1. Trace uma seção imaginária que corte até três membros (em treliças planas estaticamente determinadas) e isole uma das partes.
  2. Aplique as equações de equilíbrio à parte isolada:
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0.
  1. Escolha o ponto de momento de forma a eliminar as outras forças cortadas, permitindo resolver diretamente a força axial do membro de interesse por somatório de momentos.
Esse método é eficiente para obter rapidamente forças específicas sem analisar todos os nós.

Passo 8

Interpretação do sinal e indicação de tração/compressão:
  • Se ao resolver F_{ij}>0 conforme a convenção adotada, então o membro está em tração.
  • Se F_{ij}<0, está em compressão.
  • Na resposta final, forneça o valor absoluto e a indicação T (tração) ou C (compressão), por exemplo: F_{12}=4{,}2\\ \mathrm{kN} (T) ou F_{34}=1{,}1\\ \mathrm{kN} (C).

Passo 9

Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar aplicação do método; não resolve a sua treliça sem figura):
Considere uma barra única entre dois nós, comprimento L=2{,}0\\ \mathrm{m}. Então seu peso é
W = wL = 78{,}48\cdot 2{,}0 = 156{,}96\\ \mathrm{N} = 0{,}15696\\ \mathrm{kN}.
Metade aplicada em cada nó: 0{,}07848\\ \mathrm{kN} para baixo em cada nó. Essas cargas nodais entram no somatório para calcular reações e, depois, nas equações de equilíbrio dos nós para determinar forças axiais dos membros adjacentes. Se a treliça tiver, por exemplo, em um nó duas barras inclinadas e uma carga vertical P_j, resolver-se-ia
F_1\cos\theta_1 + F_2\cos\theta_2 + R_{x,\text{se houver}} = 0,
F_1\sin\theta_1 + F_2\sin\theta_2 - P_j + R_{y,\text{se houver}} = 0,
e daí obter F_1,F_2.

Passo 10

Lista precisa do que você deve anotar do enunciado/figura da sua prova para aplicar tudo que expliquei:
  • diagrama da treliça com identificação dos nós e elementos;
  • comprimentos L_i de cada elemento (ou coordenadas dos nós para calcular L_i);
  • tipo e posição dos apoios (pino/rolete e onde estão);
  • (opcional) se existem carregamentos adicionais além do peso — aqui disseram para remover os 3\\ \mathrm{kN} e 2\\ \mathrm{kN}, então ignore essas cargas se a instrução for removê-las.
Com esses dados em mãos, proceda:
  1. Calcule w e cada W_i=wL_i.
  2. Coloque W_i/2 em cada nó extremo e some por nó.
  3. Aplique equilíbrio global para obter reações.
  4. Use método de juntas ou seções para obter forças axiais.
  5. Interprete sinais (T/C).

Resposta

Não é possível determinar numericamente as forças em cada elemento porque o diagrama/figura da treliça (conectividade dos nós, comprimentos dos elementos e localização/tipo dos apoios) não foi fornecido. Forneça a figura ou as coordenadas/comprimentos dos elementos e a posição/tipo dos apoios para que eu calcule as forças e indique tração/compressão.

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