*6.20. Cada elemento da treliça é uniforme e tem massa por unidade de comprimento de
. Remova as cargas externas de 3 kN e 2 kN e determine a força aproximada em cada elemento devido ao peso da treliça. Indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Solucione o problema admitindo que o peso de cada elemento pode ser representado como uma força vertical, metade da qual é aplicada nas extremidades de cada um dos elementos.
Problemas 6.19/20
Passo 1
O enunciado pede para determinar as forças aproximadas em cada elemento de uma treliça causadas pelo próprio peso da treliça, depois de se removerem as cargas externas de
e
. Foi dado que cada elemento é uniforme com massa por unidade de comprimento de
e que o peso de cada elemento pode ser representado por uma força vertical concentrada, metade aplicada em cada extremidade do elemento.
Informações dadas explicitamente:
- massa por unidade de comprimento de cada elemento:
; - modelo aproximado do peso de cada elemento: força vertical igual a
, com metade aplicada em cada nó extremo do elemento.
Informações necessárias que NÃO foram fornecidas no enunciado recebido (portanto impedem a obtenção numérica das forças):
- diagrama/figura da treliça (topologia: quais nós existem e quais elementos ligam quais nós);
- coordenadas dos nós ou comprimentos de cada elemento
; - tipo e posição das apoios (pino, rolete) e suas localizações (para calcular reações);
- qualquer dado geométrico adicional (ângulos dos elementos, espaçamentos, etc.).
Conclusão do passo: sem a figura ou os comprimentos/coordena das barras e a localização dos apoios, NÃO é possível calcular numericamente as forças em cada elemento. A partir do próximo passo eu explico, passo a passo e didaticamente, como se resolve o problema quando esses dados estiverem disponíveis — assim você pode aplicar direto na sua prova assim que tiver a treliça completa.
Passo 2
Converter massa por comprimento em carga por comprimento (peso por metro). Aqui a massa linear é
e usamos
para obter a intensidade de peso por metro
.
A fórmula é
Substituindo:
Interpretação prática: cada metro de um elemento “pesa”
, ou
. Se um elemento tem comprimento
(em metros), o peso total do elemento é
Passo 3
Como pediram a aproximação em que o peso de cada elemento é representado por uma força vertical com metade aplicada em cada extremidade, transforme
em cargas nodais equivalentes:
Para cada elemento
com comprimento
,
Em cada extremidade do elemento coloque-se uma carga vertical para baixo igual a
Ensino rápido do porquê: o peso distribuído uniformemente numa barra entre dois nós pode ser substituído, para análise estática dos nós, por duas forças concentradas iguais nas extremidades que somam o mesmo total e apresentam o mesmo momento resultante sobre a barra (aproximação linear que preserva resultante e momento).
Passo 4
Montar o vetor de cargas nodais verticais resultantes do peso da treliça.
Para cada nó
da treliça, some as contribuições de metade do peso de cada elemento que tenha esse nó como extremidade:
onde
é o conjunto de elementos ligados ao nó
.
Observação prática: alguns nós de extremidade de elementos de comprimento curto receberão pouca carga; nós internos com várias barras ligadas recebem somatório maior.
Passo 5
Calcular as reações de apoio (passo obrigatório antes de determinar forças internas).
- Identificar os apoios e suas restrições (por exemplo: pino em um nó fornece
, e rolete em outro nó fornece apenas se for vertical). - Aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo inteiro (equilíbrio de toda a treliça) — assumindo treliça rígida como corpo livre das cargas nodais:
- Na prática, para reação vertical total:
onde são cargas verticais para baixo (portanto sinais negativos). - Use o balanço de momentos em torno de um ponto conveniente para obter reações sem resolver sistemas desnecessários.
Explicação didática: o somatório de forças verticais e momentos garante que as reações suportarão o peso total. Se houver duas reações verticais desconhecidas, use
e
para resolver; se houver 3 reações desconhecidas e uma é horizontal, use
também.
Passo 6
Determinar as forças axiais nos elementos — método de juntas (explicado passo a passo).
-
Convenção de sinais: adote
para tração (puxando o nó) e para compressão (empurrando o nó). Seja consistente. -
Comece por um nó onde haja no máximo duas incógnitas (isso é típico em treliças estaticamente determinadas). No nó, escreva as duas equações de equilíbrio (componentes
e ):
- Para cada força de um elemento que forma um ângulo
com a horizontal, decompõe-se:
- Substitua as forças conhecidas (cargas nodais e reações) e resolva o sistema linear de duas equações com as até duas incógnitas. O sinal da solução indica tração ou compressão.
Repetir processo nó a nó (resolvendo sucessivamente nós com incógnitas reduzidas) até encontrar todas as forças.
Dica prática: sempre resolva primeiro nós com apenas dois elementos desconhecidos. Use esquemas desenhados à mão com as setas das forças desconhecidas para organizar os sinais.
Passo 7
Método das seções (quando quiser calcular diretamente uma força de um elemento interior):
- Trace uma seção imaginária que corte até três membros (em treliças planas estaticamente determinadas) e isole uma das partes.
- Aplique as equações de equilíbrio à parte isolada:
- Escolha o ponto de momento de forma a eliminar as outras forças cortadas, permitindo resolver diretamente a força axial do membro de interesse por somatório de momentos.
Esse método é eficiente para obter rapidamente forças específicas sem analisar todos os nós.
Passo 8
Interpretação do sinal e indicação de tração/compressão:
- Se ao resolver
conforme a convenção adotada, então o membro está em tração. - Se
, está em compressão. - Na resposta final, forneça o valor absoluto e a indicação T (tração) ou C (compressão), por exemplo:
(T) ou (C).
Passo 9
Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar aplicação do método; não resolve a sua treliça sem figura):
Considere uma barra única entre dois nós, comprimento . Então seu peso é
Considere uma barra única entre dois nós, comprimento
Metade aplicada em cada nó:
para baixo em cada nó. Essas cargas nodais entram no somatório para calcular reações e, depois, nas equações de equilíbrio dos nós para determinar forças axiais dos membros adjacentes. Se a treliça tiver, por exemplo, em um nó duas barras inclinadas e uma carga vertical
, resolver-se-ia
e daí obter
.
Passo 10
Lista precisa do que você deve anotar do enunciado/figura da sua prova para aplicar tudo que expliquei:
- diagrama da treliça com identificação dos nós e elementos;
- comprimentos
de cada elemento (ou coordenadas dos nós para calcular ); - tipo e posição dos apoios (pino/rolete e onde estão);
- (opcional) se existem carregamentos adicionais além do peso — aqui disseram para remover os
e , então ignore essas cargas se a instrução for removê-las.
Com esses dados em mãos, proceda:
- Calcule
e cada . - Coloque
em cada nó extremo e some por nó. - Aplique equilíbrio global para obter reações.
- Use método de juntas ou seções para obter forças axiais.
- Interprete sinais (T/C).
Resposta
Não é possível determinar numericamente as forças em cada elemento porque o diagrama/figura da treliça (conectividade dos nós, comprimentos dos elementos e localização/tipo dos apoios) não foi fornecido. Forneça a figura ou as coordenadas/comprimentos dos elementos e a posição/tipo dos apoios para que eu calcule as forças e indique tração/compressão.