Q 142 Um observador vê um avião afastando-se em vôo horizontal a uma altura constante de 2, 4km e velocidade de 1.600 km / h, sob um ângulo theta. Determine a variação de theta em relação ao tempo no instante em que theta=pi3 rad. Desconsidere a altura do observador.

Passo 1

O enunciado descreve um avião voando horizontalmente a uma altura constante de h = 2,4,km e afastando-se de um observador no solo com velocidade dfracdxdt=1600,km/h. O ângulo de elevação é theta medido entre a horizontal e a reta de visada. Queremos encontrar a taxa dfracdthetadt no instante em que theta = pi/3. O conteúdo envolvido são relações trigonométricas e derivadas implícitas (taxas relacionadas).

Passo 2

Relacione theta e a distância horizontal x pela tangente:
tantheta = hx,
onde h é constante.

Passo 3

Derive implicitamente em relação a t:
ddt(tantheta) =ddtl(hxr) Longrightarrow sec^2theta,dthetadt =-h,x^-2,dxdt

Passo 4

No instante dado theta=pi/3 vale
tanl(pi/3r)=raiz3 Longrightarrow x=hraiz3=2,4raiz3,
e
sec^2l(pi/3r) =1cos^2(pi/3) =1(1/2)^2 =4

Passo 5

Substituindo h=2,4, x^2=(2,4)^2/3, sec^2theta=4 e dfracdxdt=1600 em
dthetadt =-h,x^-2,dxdtsec^2theta =-2,4cdot1600l(2,4^23r)cdot4 =-500rad/h

Resposta

dthetadt=-500,rad/h

Exercícios relacionados