Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
O método padrão é usar a ansatz
, que nos leva a uma equação polinomial para
, chamada de equação característica.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na equação diferencial original e dividindo por
, obtemos a equação característica
Passo 3
Fatorando o polinômio em
, temos
Daí surgem as raízes:
- (raiz dupla),
- ou
.
-
-
Passo 4
Para cada raiz real
de multiplicidade
a solução geral inclui termos do tipo
com
. Aqui:
- raiz de multiplicidade
soluções
e
,
- raiz simples solução
,
- raiz simples solução
.
Logo, a solução geral é
- raiz
- raiz simples
- raiz simples
Logo, a solução geral é
com
constantes arbitrárias.