Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(a) y^(4)-3 y^prime prime prime+2 y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) - 3,y''' + 2,y'' = 0
O método padrão é usar a ansatz y = e^r t, que nos leva a uma equação polinomial para r, chamada de equação característica.

Passo 2

Supondo y = e^r t, temos
y'' = r^2 e^r t, y''' = r^3 e^r t, y^(4) = r^4 e^r t
Substituindo na equação diferencial original e dividindo por e^r tneq0, obtemos a equação característica
r^4 - 3r^3 + 2r^2 = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio em r, temos
r^2,(r^2 - 3r + 2) = 0
Daí surgem as raízes:
- r^2 = 0 Rightarrow r = 0 (raiz dupla),
- r^2 - 3r + 2 = 0 Rightarrow r = 1 ou r = 2.

Passo 4

Para cada raiz real r de multiplicidade m a solução geral inclui termos do tipo t^k e^r t com k=0,1,dots,m-1. Aqui:
- raiz r=0 de multiplicidade 2Rightarrow soluções e^0t=1 e t,e^0t=t,
- raiz simples r=1 Rightarrow solução e^t,
- raiz simples r=2 Rightarrow solução e^2t.
Logo, a solução geral é
y(t) = C1 + C2,t + C3,e^t + C4,e^2t,
com C1,C2,C3,C4 constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1 + C2,t + C3,e^t + C4,e^2t

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