Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
l x^prime=4 x-5 y y^prime=x+2 y

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo a coeficientes constantes
x' = 4x - 5y, y' = x + 2y,
e pede a solução geral por dois métodos: o método dos operadores lineares e, quando possível, por substituição. Vamos usar teoria de operadores diferenciais e também a técnica de eliminar uma variável para chegar a uma EDO de segunda ordem.

Passo 2

Método dos operadores. Definimos o operador D=ddt. O sistema reescreve-se como
(D-4)x + 5y = 0, -x + (D-2)y = 0
Da primeira equação isolamos
y = -(D-4)x5
e substituímos na segunda:
-x + (D-2)l(-tfrac(D-4)x5r)=0 ;Longrightarrow; -(D-2)(D-4)x -5x=0 ;Longrightarrow; D^2x -6Dx +13x = 0
A equação característica é
lambda^2 -6lambda +13=0,
cuja solução é lambda=3pm2i. Logo
x(t) = e^3tl(Acos2t + Bsin2tr)
Para y usamos y=-(D-4)x/5. Calculando D x -4x e dividindo por 5, obtemos
y(t) = e^3tl(tfracA-2B5cos2t + tfrac2A+B5sin2tr)

Passo 3

Método da substituição. Da segunda equação isolamos
x = y' - 2y
e colocamos na primeira:
x' = (y' -2y)' = y'' -2y' deve va<=r 4x-5y = 4(y'-2y)-5y = 4y' -8y -5y =4y' -13y
Assim
y'' -2y' = 4y' -13y ;Longrightarrow; y'' -6y' +13y = 0,
que tem a mesma característica lambda^2-6lambda+13=0. Então
y(t) = e^3tl(C1cos2t + C2sin2tr)
E de x=y'-2y achamos
x(t) = e^3tl((C1+2C2)cos2t + (C2-2C1)sin2tr)

Passo 4

Observamos que as duas formas são equivalentes, pois diferem apenas na escolha das constantes de integração. Basta renomear (A,B)rightarrow(C1,C2) ou fazer combinações lineares.

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = e^3tl(C1cos2t + C2sin2tr), y(t) = e^3tl(C1'cos2t + C2'sin2tr),
onde, por exemplo na forma obtida por substituição,
x(t) = e^3tl((C1+2C2)cos2t + (C2-2C1)sin2tr), y(t) = e^3tl(C1cos2t + C2sin2tr),
e C1,C2 são constantes arbitrárias.

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