Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo a coeficientes constantes
e pede a solução geral por dois métodos: o método dos operadores lineares e, quando possível, por substituição. Vamos usar teoria de operadores diferenciais e também a técnica de eliminar uma variável para chegar a uma EDO de segunda ordem.
Passo 2
Método dos operadores. Definimos o operador
. O sistema reescreve-se como
Da primeira equação isolamos
e substituímos na segunda:
A equação característica é
cuja solução é
. Logo
Para
usamos
. Calculando
e dividindo por 5, obtemos
Passo 3
Método da substituição. Da segunda equação isolamos
e colocamos na primeira:
Assim
que tem a mesma característica
. Então
E de
achamos
Passo 4
Observamos que as duas formas são equivalentes, pois diferem apenas na escolha das constantes de integração. Basta renomear
ou fazer combinações lineares.
Resposta
A solução geral do sistema é
onde, por exemplo na forma obtida por substituição,
e
são constantes arbitrárias.