4.26 A barra
, articulada em
e presa em
ao cabo
, suporta as cargas mostradas nas figuras. Sabendo que
, determine (a) a tração no cabo
, (b) a reação em
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a tração no cabo
. - (b) Determinar a reação em
(componentes horizontais e verticais).
Informações dadas (peguei estes dados da figura enviada):
- Distância entre
e : . - A distância vertical entre
e (do apoio superior até o ponto ) é . - Há duas forças verticais para baixo de
cada, aplicadas na barra em pontos com espaçamento horizontal de entre si; ou seja, as posições horizontais medidas a partir de são: - primeira carga:
, - segunda carga:
.
- primeira carga:
- Do ponto
até a projeção horizontal é (três segmentos de mostrados na figura), portanto a coordenada horizontal de é . - A coordenada horizontal de
é (isto é, está à direita de sobre a viga). - Vou trabalhar em metros para as contas:
, , .
Observação: todos os dados posicionais usados para os cálculos foram obtidos da imagem.
Passo 2
Escolha de incógnitas e sistema de equilíbrio:
- Incógnitas: tração no cabo
(módulo da força em ), reações no apoio em : (horizontal) e (vertical). - Equações de equilíbrio estático para a barra (corpo rígido no plano):
onde é o momento em torno do ponto . Vou usar eixo para a direita e para cima; momento positivo no sentido anti-horário.
Explicação didática rápida (útil na prova):
- Para uma força vertical
aplicada à distância horizontal de , o momento em é (sinal dependendo do sentido da força). - Para uma força de direção arbitrária aplicada no ponto
com posição e componentes , o momento em pode ser calculado por que é a forma do produto vetorial escalar no plano (fácil de aplicar na prova: multiplica-se a componente vertical da força pelo braço horizontal e subtrai-se a componente horizontal da força vezes o braço vertical).
Passo 3
Geometria do cabo
e componentes da tração:
- Coordenadas usadas (origem em
, viga em ): (Peguei , e a partir da figura.) - Vetor de
para : . Portanto o cabo forma um triângulo de catetos iguais e , logo o ângulo com a horizontal satisfaz - Componentes da força de tração
aplicada em (direção de para , ou seja, para cima e para a esquerda): Observação: o sinal negativo em indica que a componente horizontal aponta para a esquerda.
Passo 4
Equilíbrio de momentos em
para achar
(explicação passo a passo):
- Momentos das duas cargas verticais
(para baixo) em relação a : onde o sinal negativo indica momento horário (sentido negativo escolhido). - Momento da tração
aplicada em : usando ,
come , obtemos Nota didática: o primeiro termo é a componente vertical de vez o braço horizontal; o segundo termo vem da componente horizontal de vezes o braço vertical (atenção aos sinais por causa de negativo). - Agora impondo
: Simplificando:
- Cálculo numérico (aproximação):
Arredondando razoavelmente: .
Passo 5
Equilíbrio das forças horizontais e verticais para achar
e
:
- Soma das forças na direção
: Como , temos Substituindo : Interpretação: aponta para a direita (compensa a componente horizontal do cabo que puxa para a esquerda). - Soma das forças na direção
: Como , obtemos Substituindo números: Interpretação: é positiva (para cima), pois parte do peso é sustentada pela tração e o restante por .
Passo 6
Resumo dos resultados numéricos com interpretação física:
- Tração no cabo
: . (O cabo sustenta grande parte da carga, por isso a reação vertical em é menor.) - Reação no apoio
: componentes
Dica de prova: faça sempre momentos em torno do ponto do pino quando possível (aqui usei
), assim elimina-se as reações de
na equação de momentos e sobra apenas
como incógnita, facilitando muito.
Resposta
(a)
(b) (para a direita)
(para cima)
(b)