4.26 A barra A B, articulada em A e presa em B ao cabo B D, suporta as cargas mostradas nas figuras. Sabendo que d=200 \mathrm{~mm}, determine (a) a tração no cabo B D, (b) a reação em A.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a tração no cabo BD.
  • (b) Determinar a reação em A (componentes horizontais e verticais).
Informações dadas (peguei estes dados da figura enviada):
  • Distância entre A e D: d=200\\ \text{mm}.
  • A distância vertical entre D e B (do apoio superior até o ponto B) é 100\\ \text{mm}.
  • Há duas forças verticais para baixo de 90\\ \text{N} cada, aplicadas na barra em pontos com espaçamento horizontal de 100\\ \text{mm} entre si; ou seja, as posições horizontais medidas a partir de A são:
    • primeira carga: x_1=100\\ \text{mm},
    • segunda carga: x_2=200\\ \text{mm}.
  • Do ponto A até B a projeção horizontal é 300\\ \text{mm} (três segmentos de 100\\ \text{mm} mostrados na figura), portanto a coordenada horizontal de B é x_B=300\\ \text{mm}.
  • A coordenada horizontal de D é x_D=200\\ \text{mm} (isto é, D está 200\\ \text{mm} à direita de A sobre a viga).
  • Vou trabalhar em metros para as contas: 100\\ \text{mm}=0{,}1\\ \text{m}, 200\\ \text{mm}=0{,}2\\ \text{m}, 300\\ \text{mm}=0{,}3\\ \text{m}.
Observação: todos os dados posicionais usados para os cálculos foram obtidos da imagem.

Passo 2

Escolha de incógnitas e sistema de equilíbrio:
  • Incógnitas: tração no cabo T (módulo da força em BD), reações no apoio em A: A_x (horizontal) e A_y (vertical).
  • Equações de equilíbrio estático para a barra (corpo rígido no plano): \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M_A = 0,onde M_A é o momento em torno do ponto A. Vou usar eixo +x para a direita e +y para cima; momento positivo no sentido anti-horário.
Explicação didática rápida (útil na prova):
  • Para uma força vertical F aplicada à distância horizontal x de A, o momento em A é F\cdot x (sinal dependendo do sentido da força).
  • Para uma força de direção arbitrária aplicada no ponto B com posição (x_B,y_B) e componentes F_x,F_y, o momento em A pode ser calculado por M_A = x_B F_y - y_B F_x,que é a forma do produto vetorial escalar \mathbf{r}\times\mathbf{F} no plano (fácil de aplicar na prova: multiplica-se a componente vertical da força pelo braço horizontal e subtrai-se a componente horizontal da força vezes o braço vertical).

Passo 3

Geometria do cabo BD e componentes da tração:
  • Coordenadas usadas (origem em A, viga em y=0): D(0{,}2,\;0),\qquad B(0{,}3,\;-0{,}1).(Peguei x_D=0{,}2\\ \text{m}, x_B=0{,}3\\ \text{m} e y_B=-0{,}1\\ \text{m} a partir da figura.)
  • Vetor de B para D: (x_D-x_B,\;y_D-y_B)=(-0{,}1,\;0{,}1). Portanto o cabo forma um triângulo de catetos iguais 0{,}1\\ \text{m} e 0{,}1\\ \text{m}, logo o ângulo com a horizontal satisfaz \cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\text{(ou seja, }\theta=45^\circ\text{).}
  • Componentes da força de tração T aplicada em B (direção de B para D, ou seja, para cima e para a esquerda): F_x = -T\cos45^\circ = -\frac{T}{\sqrt{2}},\qquad F_y = +T\sin45^\circ = +\frac{T}{\sqrt{2}}.Observação: o sinal negativo em F_x indica que a componente horizontal aponta para a esquerda.

Passo 4

Equilíbrio de momentos em A para achar T (explicação passo a passo):
  • Momentos das duas cargas verticais 90\\ \text{N} (para baixo) em relação a A: M_{\text{cargas}} = -90\cdot 0{,}1\\\ -\\\ 90\cdot 0{,}2\\ \text{(N·m)},onde o sinal negativo indica momento horário (sentido negativo escolhido).
  • Momento da tração T aplicada em B: usando M_A = x_B F_y - y_B F_x,
    com x_B=0{,}3\\ \text{m} e y_B=-0{,}1\\ \text{m}, obtemos M_{T} = 0{,}3\left(\frac{T}{\sqrt{2}}\right) - (-0{,}1)\left(-\frac{T}{\sqrt{2}}\right) = 0{,}3\frac{T}{\sqrt{2}} - 0{,}1\frac{T}{\sqrt{2}}.Nota didática: o primeiro termo é a componente vertical de T vez o braço horizontal; o segundo termo vem da componente horizontal de T vezes o braço vertical (atenção aos sinais por causa de y_B negativo).
  • Agora impondo \sum M_A=0: 0{,}3\frac{T}{\sqrt{2}} - 0{,}1\frac{T}{\sqrt{2}} - 90(0{,}1) - 90(0{,}2)=0.Simplificando: \left(0{,}3-0{,}1\right)\frac{T}{\sqrt{2}} = 90(0{,}1+0{,}2).
0{,}2\frac{T}{\sqrt{2}} = 90(0{,}3)=27.
T = \frac{27\sqrt{2}}{0{,}2} = \frac{27\sqrt{2}}{0{,}2}\\ \text{N}.
  • Cálculo numérico (aproximação): T \approx \frac{27\times 1{,}4142136}{0{,}2} \approx \frac{38{,}183}{0{,}2}\approx 190{,}92\\ \text{N}.Arredondando razoavelmente: T\approx 191\\ \text{N}.

Passo 5

Equilíbrio das forças horizontais e verticais para achar A_x e A_y:
  • Soma das forças na direção x: \sum F_x = 0:\qquad A_x + F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad A_x = -F_x.Como F_x=-\dfrac{T}{\sqrt{2}}, temos A_x = -\left(-\frac{T}{\sqrt{2}}\right)=\frac{T}{\sqrt{2}}.Substituindo T\approx190{,}92\\ \text{N}: A_x \approx \frac{190{,}92}{\sqrt{2}}\approx 135{,}0\\ \text{N}.Interpretação: A_x aponta para a direita (compensa a componente horizontal do cabo que puxa para a esquerda).
  • Soma das forças na direção y: \sum F_y = 0:\qquad A_y + F_y -90 -90 = 0.Como F_y=\dfrac{T}{\sqrt{2}}, obtemos A_y = 180 - \frac{T}{\sqrt{2}}.Substituindo números: A_y \approx 180 - 135{,}0 = 45{,}0\\ \text{N}.Interpretação: A_y é positiva (para cima), pois parte do peso é sustentada pela tração T e o restante por A_y.

Passo 6

Resumo dos resultados numéricos com interpretação física:
  • Tração no cabo BD: T\approx 191\\ \text{N}. (O cabo sustenta grande parte da carga, por isso a reação vertical em A é menor.)
  • Reação no apoio A: componentes A_x \approx 135\\ \text{N}\\ \text{(direita)},\qquad A_y \approx 45\\ \text{N}\\ \text{(para cima)}.
Dica de prova: faça sempre momentos em torno do ponto do pino quando possível (aqui usei A), assim elimina-se as reações de A na equação de momentos e sobra apenas T como incógnita, facilitando muito.

Resposta

(a) T \approx 191\\ \text{N}
(b) A_x \approx 135\\ \text{N} (para a direita)
A_y \approx 45\\ \text{N} (para cima)

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